Страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

$x^2$

Остальные свойства докажите самостоятельно.

На изображении приведена инструкция из учебного материала, которая предлагает читателю самостоятельно доказать некоторые неуказанные свойства. Поскольку ни математический объект, ни сами свойства не определены, дать точный ответ на этот общий призыв невозможно. Однако, можно рассмотреть пример того, как могли бы выглядеть такие доказательства, если бы речь шла, например, о свойствах скалярного произведения векторов — теме, в которой подобные задания для самостоятельной работы встречаются часто.

Предположим, что в учебнике было доказано распределительное свойство скалярного произведения, а для самостоятельного доказательства были оставлены следующие два свойства.

1. Коммутативность скалярного произведения

Необходимо доказать, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей, то есть выполняется равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Доказательство:

Воспользуемся определением скалярного произведения векторов через их координаты. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы в некотором ортонормированном базисе в n-мерном пространстве своими координатами:

$\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$

$\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$

По определению, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{a}$:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \dots + b_n a_n = \sum_{i=1}^{n} b_i a_i$

Так как операция умножения для действительных чисел коммутативна (то есть $a_i b_i = b_i a_i$ для любого $i$), то и суммы этих произведений равны:

$\sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \sum_{i=1}^{n} b_i a_i$

Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство коммутативности скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ доказано.

2. Сочетательное свойство относительно умножения на скаляр

Необходимо доказать, что для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого действительного числа (скаляра) $k$ выполняется равенство: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Доказательство:

Снова используем координатное представление векторов $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$.

Сначала найдем координаты вектора $k\vec{a}$. По определению умножения вектора на скаляр, каждая координата вектора умножается на это число:

$k\vec{a} = (ka_1, ka_2, \dots, ka_n)$

Теперь вычислим левую часть доказываемого равенства — скалярное произведение вектора $k\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$:

$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = (ka_1)b_1 + (ka_2)b_2 + \dots + (ka_n)b_n = \sum_{i=1}^{n} (ka_i)b_i$

Далее вычислим правую часть равенства. Для этого сначала найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, а затем умножим результат на скаляр $k$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

$k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = k(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n) = k(a_1 b_1) + k(a_2 b_2) + \dots + k(a_n b_n) = \sum_{i=1}^{n} k(a_i b_i)$

Для действительных чисел справедливо сочетательное свойство умножения: $(ka_i)b_i = k(a_i b_i)$. Поэтому выражения для левой и правой частей равенства тождественны:

$\sum_{i=1}^{n} (ka_i)b_i = \sum_{i=1}^{n} k(a_i b_i)$

Следовательно, $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$, что и требовалось доказать.

Ответ: Сочетательное свойство скалярного произведения относительно умножения на скаляр $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$ доказано.