Страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Постройте графики функции $y = f(x)$ (12.1-12.2):

12.1. 1) $f(x) = 5^x$;

2) $f(x) = 1,5^x$;

3) $f(x) = 0,85^x$;

4) $f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x$.

1)

Рассмотрим функцию $f(x) = 5^x$. Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=5$.

Для построения графика проанализируем свойства функции и найдем координаты нескольких точек.

Свойства функции:

Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

Поскольку основание $a=5 > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения.

График функции пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0; 1)$, так как $5^0=1$.

Ось абсцисс (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Контрольные точки:

При $x = -1$, $y = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка $(-1; 0.2)$.

При $x = 0$, $y = 5^0 = 1$. Точка $(0; 1)$.

При $x = 1$, $y = 5^1 = 5$. Точка $(1; 5)$.

Для построения графика необходимо нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой, которая слева (при $x \to -\infty$) приближается к оси $Ox$, а справа (при $x \to +\infty$) резко уходит вверх.

Ответ: График функции $y=5^x$ – это гладкая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$, является возрастающей и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$. График расположен в верхней полуплоскости и проходит, например, через точки $(-1; 0.2)$ и $(1; 5)$.

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = 1.5^x$. Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=1.5$.

Для построения графика проанализируем свойства функции и найдем координаты нескольких точек.

Свойства функции:

Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

Поскольку основание $a=1.5 > 1$, функция является строго возрастающей.

График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $1.5^0=1$.

Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Контрольные точки:

При $x = -1$, $y = 1.5^{-1} = (\frac{3}{2})^{-1} = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Точка $(-1; \frac{2}{3})$.

При $x = 0$, $y = 1.5^0 = 1$. Точка $(0; 1)$.

При $x = 1$, $y = 1.5^1 = 1.5$. Точка $(1; 1.5)$.

При $x = 2$, $y = 1.5^2 = 2.25$. Точка $(2; 2.25)$.

Для построения графика нужно нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой. Кривая будет расти медленнее, чем график $y=5^x$.

Ответ: График функции $y=1.5^x$ – это гладкая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$, является возрастающей и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$. График расположен в верхней полуплоскости и проходит, например, через точки $(-1; \frac{2}{3})$ и $(1; 1.5)$.

3)

Рассмотрим функцию $f(x) = 0.85^x$. Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=0.85$.

Для построения графика проанализируем свойства функции и найдем координаты нескольких точек.

Свойства функции:

Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

Поскольку основание $0 < a=0.85 < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения.

График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $0.85^0=1$.

Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Контрольные точки:

При $x = -1$, $y = 0.85^{-1} = \frac{1}{0.85} = \frac{100}{85} = \frac{20}{17} \approx 1.18$. Точка $(-1; \frac{20}{17})$.

При $x = 0$, $y = 0.85^0 = 1$. Точка $(0; 1)$.

При $x = 1$, $y = 0.85^1 = 0.85$. Точка $(1; 0.85)$.

Для построения графика необходимо нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой, которая слева (при $x \to -\infty$) уходит вверх, а справа (при $x \to +\infty$) приближается к оси $Ox$.

Ответ: График функции $y=0.85^x$ – это гладкая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$, является убывающей и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$. График расположен в верхней полуплоскости и проходит, например, через точки $(-1; \frac{20}{17})$ и $(1; 0.85)$.

4)

Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{2}{3})^x$. Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=\frac{2}{3}$.

Для построения графика проанализируем свойства функции и найдем координаты нескольких точек.

Свойства функции:

Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

Поскольку основание $0 < a=\frac{2}{3} < 1$, функция является строго убывающей.

График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $(\frac{2}{3})^0=1$.

Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Контрольные точки:

При $x = -2$, $y = (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$. Точка $(-2; 2.25)$.

При $x = -1$, $y = (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} = 1.5$. Точка $(-1; 1.5)$.

При $x = 0$, $y = (\frac{2}{3})^0 = 1$. Точка $(0; 1)$.

При $x = 1$, $y = (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Точка $(1; \frac{2}{3})$.

Для построения графика нужно нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой, которая убывает при увеличении $x$.

Ответ: График функции $y=(\frac{2}{3})^x$ – это гладкая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$, является убывающей и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$. График расположен в верхней полуплоскости и проходит, например, через точки $(-1; 1.5)$ и $(1; \frac{2}{3})$.

12.2. 1) $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$; 2) $f(x) = \left(1\frac{1}{6}\right)^x$;
3) $f(x) = \left(\frac{6}{7}\right)^x$; 4) $f(x) = 4^x$.

1) Показательная функция задаётся формулой $f(x) = a^x$. В данном случае основание $a = \frac{1}{4}$. Характер монотонности показательной функции зависит от её основания. Если основание больше 1, функция возрастает. Если основание больше 0, но меньше 1, функция убывает. Сравним основание с единицей: $0 < \frac{1}{4} < 1$. Следовательно, данная функция является убывающей на всей области определения. Ответ: функция убывающая.

2) В этой функции $f(x) = (1\frac{1}{6})^x$ основание $a = 1\frac{1}{6}$. Для анализа представим основание в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$. Теперь сравним основание с единицей: $a = \frac{7}{6} > 1$. Так как основание больше 1, функция является возрастающей на всей области определения. Ответ: функция возрастающая.

3) Для функции $f(x) = (\frac{6}{7})^x$ основание равно $a = \frac{6}{7}$. Сравним это значение с единицей. Поскольку числитель меньше знаменателя, дробь меньше 1, и при этом она положительна: $0 < \frac{6}{7} < 1$. Так как основание находится в интервале $(0; 1)$, функция является убывающей на всей области определения. Ответ: функция убывающая.

4) В функции $f(x) = 4^x$ основание $a = 4$. Сравниваем основание с единицей: $a = 4 > 1$. Поскольку основание больше 1, функция является возрастающей на всей области определения. Ответ: функция возрастающая.

12.3. Перечислите свойства функции по ее графику (рис. 41):

1)

2)

Рис. 41

Формулы:

$y = (\frac{1}{3})^x - 2$

$y = 4^x - 1$

1)

Свойства функции $y = (\frac{1}{3})^x - 2$ на основе её графика:

1. Область определения: функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: значения функции строго больше -2. $E(y) = (-2; +\infty)$.

3. Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

4. Монотонность: функция является убывающей на всей своей области определения, так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$.

5. Пересечение с осями координат:

- с осью Oy: при $x=0$, $y = (\frac{1}{3})^0 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка пересечения $(0; -1)$.

- с осью Ox (нуль функции): при $y=0$, $(\frac{1}{3})^x - 2 = 0 \Rightarrow (\frac{1}{3})^x = 2 \Rightarrow x = \log_{1/3} 2$. Точка пересечения $(\log_{1/3} 2; 0)$.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty; \log_{1/3} 2)$.

- $y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (\log_{1/3} 2; +\infty)$.

7. Асимптоты: график имеет горизонтальную асимптоту $y = -2$ при $x \to +\infty$.

8. Экстремумы: функция не имеет точек максимума или минимума.

Ответ: 1. $D(y) = (-\infty; +\infty)$; 2. $E(y) = (-2; +\infty)$; 3. Функция общего вида; 4. Убывает на $(-\infty; +\infty)$; 5. Пересечение с Oy: $(0; -1)$, пересечение с Ox: $(\log_{1/3} 2; 0)$; 6. $y > 0$ при $x < \log_{1/3} 2$, $y < 0$ при $x > \log_{1/3} 2$; 7. Горизонтальная асимптота $y = -2$; 8. Экстремумов нет.

2)

Свойства функции $y = 4^{x-1} - 1$ на основе её графика:

1. Область определения: функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: значения функции строго больше -1. $E(y) = (-1; +\infty)$.

3. Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

4. Монотонность: функция является возрастающей на всей своей области определения, так как основание степени $a = 4$ больше 1.

5. Пересечение с осями координат:

- с осью Oy: при $x=0$, $y = 4^{0-1} - 1 = 4^{-1} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$. Точка пересечения $(0; -\frac{3}{4})$.

- с осью Ox (нуль функции): при $y=0$, $4^{x-1} - 1 = 0 \Rightarrow 4^{x-1} = 1 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x=1$. Точка пересечения $(1; 0)$.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (1; +\infty)$.

- $y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-\infty; 1)$.

7. Асимптоты: график имеет горизонтальную асимптоту $y = -1$ при $x \to -\infty$.

8. Экстремумы: функция не имеет точек максимума или минимума.

Ответ: 1. $D(y) = (-\infty; +\infty)$; 2. $E(y) = (-1; +\infty)$; 3. Функция общего вида; 4. Возрастает на $(-\infty; +\infty)$; 5. Пересечение с Oy: $(0; -3/4)$, пересечение с Ox: $(1; 0)$; 6. $y > 0$ при $x > 1$, $y < 0$ при $x < 1$; 7. Горизонтальная асимптота $y = -1$; 8. Экстремумов нет.

12.4. Найдите множество значений функции $y = f(x):$

1) $f(x) = 0,24^x + 3;$

2) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x - 2;$

3) $f(x) = -7^x + 1;$

4) $f(x) = 36^x - 4.$

1) $f(x) = 0.24^x + 3$

Для нахождения множества значений функции $f(x)$ необходимо проанализировать ее составляющие. Функция $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, называется показательной. Множество ее значений — все положительные действительные числа, то есть интервал $(0; +\infty)$.

В данном случае, у нас есть показательная часть $0.24^x$. Так как основание $0.24 > 0$ и $0.24 \neq 1$, то множество значений для $0.24^x$ есть $(0; +\infty)$.

Это можно записать в виде неравенства: $0.24^x > 0$.

Функция $f(x)$ получается путем прибавления константы 3 к $0.24^x$. Это соответствует сдвигу графика функции $y=0.24^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Применим это преобразование к неравенству:

$0.24^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие 3.

Ответ: $(3; +\infty)$

2) $f(x) = (\frac{3}{4})^x - 2$

Аналогично первому пункту, рассмотрим показательную часть $(\frac{3}{4})^x$. Основание $a = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Множество значений для $(\frac{3}{4})^x$ — это интервал $(0; +\infty)$.

Запишем это в виде неравенства: $(\frac{3}{4})^x > 0$.

Функция $f(x)$ получается путем вычитания константы 2 из $(\frac{3}{4})^x$. Это соответствует сдвигу графика функции $y=(\frac{3}{4})^x$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

Применим это преобразование к неравенству:

$(\frac{3}{4})^x - 2 > 0 - 2$

$f(x) > -2$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие -2.

Ответ: $(-2; +\infty)$

3) $f(x) = -7^x + 1$

Сначала рассмотрим показательную функцию $y=7^x$. Ее множество значений — $(0; +\infty)$, то есть $7^x > 0$.

В нашей функции $f(x)$ перед $7^x$ стоит знак минус. Это соответствует отражению графика $y=7^x$ относительно оси абсцисс. При умножении неравенства на -1, знак неравенства меняется на противоположный:

$-7^x < 0$.

Таким образом, множество значений для $-7^x$ — это $(-\infty; 0)$.

Далее, к выражению $-7^x$ прибавляется 1. Это сдвигает график на 1 единицу вверх.

Применим это преобразование к неравенству:

$-7^x + 1 < 0 + 1$

$f(x) < 1$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, меньшие 1.

Ответ: $(-\infty; 1)$

4) $f(x) = 36^x - 4$

Рассмотрим показательную часть $36^x$. Основание $a = 36$ больше 0 и не равно 1.

Множество значений для $36^x$ — это интервал $(0; +\infty)$.

Запишем это в виде неравенства: $36^x > 0$.

Функция $f(x)$ получается путем вычитания константы 4 из $36^x$. Это соответствует сдвигу графика функции $y=36^x$ на 4 единицы вниз вдоль оси ординат.

Применим это преобразование к неравенству:

$36^x - 4 > 0 - 4$

$f(x) > -4$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие -4.

Ответ: $(-4; +\infty)$

12.5. Сравните числа:

1) $1,8^3$ и $2^3$;

2) $0,8^2$ и $0,54$;

3) $0,5^3$ и $0,5^7$;

4) $3,2^{1,6}$ и $3,2^{1,7}$;

5) $0,2^{\sqrt{2}}$ и $0,2^{1,4}$;

6) $3^\pi$ и $3^{3,149}$.

1) В данном случае показатели степеней одинаковы и равны 3. Основания степеней различны: $1,8$ и $2$. Поскольку $1,8 < 2$, а показатель степени $3 > 0$, то при возведении в одну и ту же положительную степень меньшее основание даст меньший результат. Следовательно, $1,8^3 < 2^3$.

Ответ: $1,8^3 < 2^3$.

2) Для сравнения чисел $0,8^2$ и $0,54$ сначала вычислим значение $0,8^2$. $0,8^2 = 0,8 \times 0,8 = 0,64$. Теперь сравним полученное значение с числом $0,54$. Так как $0,64 > 0,54$, то и $0,8^2 > 0,54$.

Ответ: $0,8^2 > 0,54$.

3) Здесь основания степеней одинаковы и равны $0,5$. Основание $a=0,5$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Показательная функция $y=a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что для двух любых значений $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. В нашем случае $x_1=3$ и $x_2=7$. Так как $3 < 7$, то $0,5^3 > 0,5^7$.

Ответ: $0,5^3 > 0,5^7$.

4) В этом примере основания степеней одинаковы и равны $3,2$. Основание $a=3,2$ удовлетворяет условию $a > 1$. Показательная функция $y=a^x$ при $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что для двух любых значений $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. В нашем случае $x_1=1,6$ и $x_2=1,7$. Так как $1,6 < 1,7$, то $3,2^{1,6} < 3,2^{1,7}$.

Ответ: $3,2^{1,6} < 3,2^{1,7}$.

5) Основания степеней одинаковы и равны $0,2$. Так как основание $a=0,2$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=0,2^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1,4$. Мы знаем, что $1,4^2 = 1,96$, а $(\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $2 > 1,96$, то $\sqrt{2} > 1,4$. Поскольку функция убывающая, большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $0,2^{\sqrt{2}} < 0,2^{1,4}$.

Ответ: $0,2^{\sqrt{2}} < 0,2^{1,4}$.

6) Основания степеней одинаковы и равны $3$. Так как основание $a=3$ больше 1, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,149$. Значение числа $\pi$ (пи) приблизительно равно $3,14159...$. Таким образом, $\pi < 3,149$. Поскольку функция возрастающая, меньшему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $3^\pi < 3^{3,149}$.

Ответ: $3^\pi < 3^{3,149}$.

12.6. Напишите числа 1; 8; 32; $\frac{1}{64}$; 0,25; 0,0625 в виде степени числа 2.

1 Согласно свойству степени, любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице.

Следовательно, $1 = 2^0$.

Ответ: $2^0$

8 Чтобы представить число 8 в виде степени числа 2, необходимо найти показатель степени $x$, для которого $2^x = 8$.

$2^1 = 2$

$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Таким образом, $8 = 2^3$.

Ответ: $2^3$

32 Найдем степень числа 2, равную 32, продолжая последовательность степеней:

$2^4 = 16$

$2^5 = 32$

Следовательно, $32 = 2^5$.

Ответ: $2^5$

$\frac{1}{64}$

Для представления дроби в виде степени используется свойство отрицательного показателя: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Сначала представим знаменатель 64 в виде степени числа 2.

$2^6 = 64$

Теперь, используя свойство отрицательной степени, получаем:

$\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$.

Ответ: $2^{-6}$

0,25

Сначала преобразуем десятичную дробь 0,25 в обыкновенную.

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Знаменатель 4 является второй степенью числа 2: $4 = 2^2$.

Применяя свойство отрицательной степени, получаем:

$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Ответ: $2^{-2}$

0,0625

Преобразуем десятичную дробь 0,0625 в обыкновенную.

$0,0625 = \frac{625}{10000}$

Сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на 625.

$10000 \div 625 = 16$.

Таким образом, $\frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$.

Знаменатель 16 является четвертой степенью числа 2: $16 = 2^4$.

Используя свойство отрицательной степени, получаем:

$0,0625 = \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.

Ответ: $2^{-4}$

12.7. Вычислите:

1) $4^{1-2\sqrt{2}} \cdot 64^{\sqrt{2}-1};$

2) $\left( \sqrt[3]{5} \right)^{\sqrt{3}^{\sqrt{3}}};$

3) $49^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}};$

4) $6^{2\sqrt{5}+1} : 36^{\sqrt{5}}.$

1) В выражении $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 64^{\sqrt{2}}$ приведем степени к одному основанию 4. Так как $64 = 4^3$, то выражение можно переписать: $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot (4^3)^{\sqrt{2}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 4^{3\sqrt{2}}$. Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $4^{1-3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}} = 4^1 = 4$.

Ответ: 4

2) В выражении $(\sqrt[3]{5}^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$ представим корень как степень с рациональным показателем $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$. Получим: $((5^{\frac{1}{3}})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ дважды, перемножаем показатели: $5^{\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 5^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

3) В выражении $49^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$ приведем основания степеней к одному числу 7. Так как $49 = 7^2$, получаем: $(7^2)^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$. Применяя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $7^{2\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$: $7^{2\sqrt{7} - 2\sqrt{7}} = 7^0 = 1$.

Ответ: 1

4) В выражении $6^{2\sqrt{5}+1} : 36^{\sqrt{5}}$ приведем основания степеней к одному числу 6. Так как $36 = 6^2$, получаем: $6^{2\sqrt{5}+1} : (6^2)^{\sqrt{5}}$. Применяя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $6^{2\sqrt{5}+1} : 6^{2\sqrt{5}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$: $6^{(2\sqrt{5}+1) - 2\sqrt{5}} = 6^{2\sqrt{5}+1-2\sqrt{5}} = 6^1 = 6$.

Ответ: 6