Номер 12.7, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.7. Вычислите:

1) $4^{1-2\sqrt{2}} \cdot 64^{\sqrt{2}-1};$

2) $\left( \sqrt[3]{5} \right)^{\sqrt{3}^{\sqrt{3}}};$

3) $49^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}};$

4) $6^{2\sqrt{5}+1} : 36^{\sqrt{5}}.$

1) В выражении $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 64^{\sqrt{2}}$ приведем степени к одному основанию 4. Так как $64 = 4^3$, то выражение можно переписать: $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot (4^3)^{\sqrt{2}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 4^{3\sqrt{2}}$. Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $4^{1-3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}} = 4^1 = 4$.

Ответ: 4

2) В выражении $(\sqrt[3]{5}^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$ представим корень как степень с рациональным показателем $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$. Получим: $((5^{\frac{1}{3}})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ дважды, перемножаем показатели: $5^{\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 5^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

3) В выражении $49^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$ приведем основания степеней к одному числу 7. Так как $49 = 7^2$, получаем: $(7^2)^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$. Применяя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $7^{2\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$: $7^{2\sqrt{7} - 2\sqrt{7}} = 7^0 = 1$.

Ответ: 1

4) В выражении $6^{2\sqrt{5}+1} : 36^{\sqrt{5}}$ приведем основания степеней к одному числу 6. Так как $36 = 6^2$, получаем: $6^{2\sqrt{5}+1} : (6^2)^{\sqrt{5}}$. Применяя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $6^{2\sqrt{5}+1} : 6^{2\sqrt{5}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$: $6^{(2\sqrt{5}+1) - 2\sqrt{5}} = 6^{2\sqrt{5}+1-2\sqrt{5}} = 6^1 = 6$.

Ответ: 6