Номер 12.14, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.14. Найдите значение выражения:

1) $(b^2 \sqrt{b})^{1/5} \cdot (b^3 \sqrt{b})^{1/7}$, если $b = 5;$

2) $(b^3 \sqrt{b})^{4/7} \cdot (b^5 \sqrt[3]{b})^{9/16}$, если $b = 3;$

3) $(b^3 \sqrt[3]{b})^{3/5} \cdot (b^2 \sqrt[4]{b})^{8/9}$, если $b = 2;$

4) $(b \sqrt[4]{b})^{8/5} \cdot (b^2 \sqrt[5]{b})^{5/11}$, если $b = 4.$

1)Для начала упростим выражение. Используем свойство корня $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $, чтобы представить корни в виде степеней: $ \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} $.

Теперь упростим выражения в скобках, используя свойство $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ b^2 \sqrt{b} = b^2 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{2 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{5}{2}} $

$ b^3 \sqrt{b} = b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{3 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{7}{2}} $

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$ (b^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{7}} $

Используем свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:

$ b^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} \cdot b^{\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{7}} = b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} $

Снова используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:

$ b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = b^1 = b $

Подставим значение $ b = 5 $:

Выражение равно 5.

Ответ: 5

2)Упростим выражение, представив корни в виде степеней: $ \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} $ и $ \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}} $.

Упростим выражения в скобках:

$ b^3 \sqrt{b} = b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{3 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{7}{2}} $

$ b^5 \sqrt[3]{b} = b^5 \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{5 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{16}{3}} $

Подставим в исходное выражение:

$ (b^{\frac{7}{2}})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^{\frac{16}{3}})^{\frac{9}{16}} $

Применим свойство возведения степени в степень:

$ b^{\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}} \cdot b^{\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{16}} = b^2 \cdot b^3 $

Умножим степени:

$ b^{2+3} = b^5 $

Подставим значение $ b = 3 $:

$ 3^5 = 243 $

Ответ: 243

3)Представим корни в виде степеней: $ \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}} $ и $ \sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}} $.

Упростим выражения в скобках:

$ b^3 \sqrt[3]{b} = b^3 \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{3 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{10}{3}} $

$ b^2 \sqrt[4]{b} = b^2 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{2 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{9}{4}} $

Подставим в исходное выражение:

$ (b^{\frac{10}{3}})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^{\frac{9}{4}})^{\frac{8}{9}} $

Применим свойство возведения степени в степень:

$ b^{\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5}} \cdot b^{\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9}} = b^2 \cdot b^2 $

Умножим степени:

$ b^{2+2} = b^4 $

Подставим значение $ b = 2 $:

$ 2^4 = 16 $

Ответ: 16

4)Представим корни в виде степеней: $ \sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}} $ и $ \sqrt[5]{b} = b^{\frac{1}{5}} $.

Упростим выражения в скобках:

$ b \sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}} $

$ b^2 \sqrt[5]{b} = b^2 \cdot b^{\frac{1}{5}} = b^{2 + \frac{1}{5}} = b^{\frac{11}{5}} $

Подставим в исходное выражение:

$ (b^{\frac{5}{4}})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^{\frac{11}{5}})^{\frac{5}{11}} $

Применим свойство возведения степени в степень:

$ b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5}} \cdot b^{\frac{11}{5} \cdot \frac{5}{11}} = b^2 \cdot b^1 $

Умножим степени:

$ b^{2+1} = b^3 $

Подставим значение $ b = 4 $:

$ 4^3 = 64 $

Ответ: 64