Номер 12.10, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.10. Используя простейшие преобразования к графику функции $y = a^x$, постройте график функции $y = g(x)$:

1) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$;

2) $g(x) = 4^x + 3$;

3) $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$;

4) $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$.

1) Для построения графика функции $g(x) = (\frac{1}{2})^x - 2$ воспользуемся преобразованиями графика базовой функции $y = a^x$.

В данном случае базовая функция — это $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$, то эта функция является убывающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).

Чтобы получить график функции $g(x) = (\frac{1}{2})^x - 2$, нужно выполнить преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x) - c$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика исходной функции $y = (\frac{1}{2})^x$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Таким образом, каждая точка графика $y = (\frac{1}{2})^x$ смещается на 2 единицы вниз. Например, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -1)$, а точка $(-1, 2)$ — в точку $(-1, 0)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается вниз на 2 единицы и становится прямой $y=-2$.

Ответ: График функции $g(x) = (\frac{1}{2})^x - 2$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = (\frac{1}{2})^x$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

2) Для построения графика функции $g(x) = 4^x + 3$ воспользуемся преобразованиями графика базовой функции $y = a^x$.

Базовой функцией является $y = 4^x$. Так как основание $a=4$ больше 1, функция является возрастающей. Её график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

Чтобы получить график функции $g(x) = 4^x + 3$, необходимо выполнить преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x) + c$. Это соответствует параллельному переносу графика исходной функции $y = 4^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

При этом сдвиге каждая точка графика $y = 4^x$ смещается на 3 единицы вверх. Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 4)$, а точка $(1, 4)$ — в точку $(1, 7)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.

Ответ: График функции $g(x) = 4^x + 3$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = 4^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

3) Для построения графика функции $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ воспользуемся последовательностью преобразований графика базовой функции $y = a^x$.

Базовая функция — это $y = (2,5)^x$. Так как основание $a=2,5$ больше 1, функция является возрастающей. Её график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

Построение графика $g(x)$ выполняется в два шага:

1. Сначала выполним преобразование $f(x) \rightarrow f(x-c)$. В нашем случае это сдвиг графика $y = (2,5)^x$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox), чтобы получить график промежуточной функции $y_1 = (2,5)^{x-1}$. При этом точка $(0, 1)$ переместится в точку $(1, 1)$. Асимптота останется прежней: $y=0$.

2. Затем выполним преобразование $f(x) \rightarrow f(x) + c$. Сдвигаем график функции $y_1 = (2,5)^{x-1}$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy), чтобы получить искомый график $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$. Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(1, 3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 2 единицы вверх и станет прямой $y=2$.

Ответ: График функции $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ получается путем последовательного применения двух параллельных переносов к графику функции $y = (2,5)^x$: сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и затем сдвиг на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

4) Для построения графика функции $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ воспользуемся последовательностью преобразований графика базовой функции $y = a^x$.

Базовая функция — это $y = (2,25)^x$. Так как основание $a=2,25$ больше 1, функция является возрастающей. Её график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

Построение графика $g(x)$ выполняется в два шага:

1. Сначала выполним преобразование $f(x) \rightarrow f(x+c)$. В нашем случае это сдвиг графика $y = (2,25)^x$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (оси Ox), чтобы получить график промежуточной функции $y_1 = (2,25)^{x+3}$. При этом точка $(0, 1)$ переместится в точку $(-3, 1)$. Асимптота останется прежней: $y=0$.

2. Затем выполним преобразование $f(x) \rightarrow f(x) - c$. Сдвигаем график функции $y_1 = (2,25)^{x+3}$ на 4 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy), чтобы получить искомый график $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$. Точка $(-3, 1)$ переместится в точку $(-3, -3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 4 единицы вниз и станет прямой $y=-4$.

Ответ: График функции $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ получается путем последовательного применения двух параллельных переносов к графику функции $y = (2,25)^x$: сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси Ox и затем сдвиг на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.