Номер 12.13, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = g(x)$:

1) $g(x) = 3^{\cos x}$;

2) $g(x) = 2^{\sin x}$;

3) $g(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{2\sin x}$;

4) $g(x) = 4 - 16^{\frac{1}{\cos x}}$.

1)Для функции $g(x) = 3^{\cos x}$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения.Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.Наименьшее значение функция $g(x)$ принимает при наименьшем значении показателя, то есть при $\cos x = -1$.$g_{min} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.Наибольшее значение функция $g(x)$ принимает при наибольшем значении показателя, то есть при $\cos x = 1$.$g_{max} = 3^{1} = 3$.

Ответ: Наименьшее значение равно $\frac{1}{3}$, наибольшее значение равно $3$.

2)Для функции $g(x) = 2^{\sin x}$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения.Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей.Наименьшее значение функция $g(x)$ принимает при наименьшем значении показателя, то есть при $\sin x = -1$.$g_{min} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.Наибольшее значение функция $g(x)$ принимает при наибольшем значении показателя, то есть при $\sin x = 1$.$g_{max} = 2^{1} = 2$.

Ответ: Наименьшее значение равно $\frac{1}{2}$, наибольшее значение равно $2$.

3)Для функции $g(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{2\sin x}$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения.Сначала найдем область значений показателя степени $2\sin x$. Мы знаем, что $-1 \le \sin x \le 1$. Умножив на 2, получаем $-2 \le 2\sin x \le 2$.Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{8} < 1$, показательная функция $y=\left(\frac{1}{8}\right)^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.Следовательно, наименьшее значение функция $g(x)$ принимает при наибольшем значении показателя, то есть при $2\sin x = 2$.$g_{min} = \left(\frac{1}{8}\right)^{2} = \frac{1}{64}$.Наибольшее значение функция $g(x)$ принимает при наименьшем значении показателя, то есть при $2\sin x = -2$.$g_{max} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-2} = 8^2 = 64$.

Ответ: Наименьшее значение равно $\frac{1}{64}$, наибольшее значение равно $64$.

4)Для функции $g(x) = 4 - 16^{\frac{1}{2}\cos x}$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения.Сначала упростим выражение: $16^{\frac{1}{2}\cos x} = (4^2)^{\frac{1}{2}\cos x} = 4^{2 \cdot \frac{1}{2}\cos x} = 4^{\cos x}$.Таким образом, функция принимает вид $g(x) = 4 - 4^{\cos x}$.Найдем область значений выражения $4^{\cos x}$. Область значений косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$.Поскольку основание $4 > 1$, функция $y=4^t$ возрастающая.Наименьшее значение $4^{\cos x}$ достигается при $\cos x = -1$ и равно $4^{-1} = \frac{1}{4}$.Наибольшее значение $4^{\cos x}$ достигается при $\cos x = 1$ и равно $4^1 = 4$.Итак, $\frac{1}{4} \le 4^{\cos x} \le 4$.Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = 4 - 4^{\cos x}$.Наибольшее значение $g(x)$ достигается, когда вычитаемое $4^{\cos x}$ минимально:$g_{max} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}$.Наименьшее значение $g(x)$ достигается, когда вычитаемое $4^{\cos x}$ максимально:$g_{min} = 4 - 4 = 0$.

Ответ: Наименьшее значение равно $0$, наибольшее значение равно $\frac{15}{4}$.