Номер 13.3, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.3. 1) $27^{\frac{2}{3}} = 9;$

2) $32^{\frac{3}{5}} = 8;$

3) $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27};$

4) $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}.$

1)

Для проверки равенства $27^{\frac{2}{3}} = 9$ необходимо вычислить значение выражения в левой части. Степень с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ можно представить как $\sqrt[n]{a^m}$ или $(\sqrt[n]{a})^m$. Воспользуемся вторым вариантом.

Представим основание 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это в исходное выражение: $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}}$.

При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.

Следовательно, $(3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2$.

Вычисляем результат: $3^2 = 9$.

Так как $9 = 9$, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

2)

Для проверки равенства $32^{\frac{3}{5}} = 8$ вычислим значение выражения в левой части. Представим основание 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$.

Подставим в выражение: $32^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}}$.

Используем свойство возведения степени в степень: $(2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3$.

Вычисляем результат: $2^3 = 8$.

Так как $8 = 8$, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

3)

Для проверки равенства $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$ преобразуем левую часть. Степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Следовательно, $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}}$.

Теперь вычислим знаменатель. Представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.

Тогда $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}}$.

По свойству степени: $(3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3$.

Вычисляем знаменатель: $3^3 = 27$.

Возвращаясь к исходному выражению, получаем $\frac{1}{27}$.

Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{27}$, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

4)

Для проверки равенства $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$ преобразуем левую часть, используя свойство степени с отрицательным показателем: $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{2}{3}}}$.

Вычислим знаменатель $125^{\frac{2}{3}}$. Представим 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.

Подставим в знаменатель: $125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}}$.

По свойству возведения степени в степень: $(5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 5^2$.

Вычисляем значение знаменателя: $5^2 = 25$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{25}$.

Так как $\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.