Номер 13.8, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите логарифмы данных чисел по основанию $a$ (13.8–13.9):

13.8. 1) 5; $\frac{1}{5}$; $\sqrt{5}$, $a = 5$;

2) 64; $\frac{1}{8}$; 128, $a = 2$;

3) 7; $\frac{1}{7}$; 49, $a = 7$;

4) 4; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{64}$, $a = 2$.

1)

Требуется найти логарифмы чисел $5; \frac{1}{5}; \sqrt{5}$ по основанию $a = 5$.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ ($log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

Для числа $5$: найдем $log_5 5$. Нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести $5$, чтобы получить $5$. То есть $5^x = 5$. Очевидно, $x=1$. Таким образом, $log_5 5 = 1$.

Для числа $\frac{1}{5}$: найдем $log_5 \frac{1}{5}$. Нужно найти степень $x$, для которой $5^x = \frac{1}{5}$. Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Значит, $5^x = 5^{-1}$, откуда $x=-1$. Таким образом, $log_5 \frac{1}{5} = -1$.

Для числа $\sqrt{5}$: найдем $log_5 \sqrt{5}$. Нужно найти степень $x$, для которой $5^x = \sqrt{5}$. Используя свойство степеней $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, получаем $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. Значит, $5^x = 5^{\frac{1}{2}}$, откуда $x=\frac{1}{2}$. Таким образом, $log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1; -1; \frac{1}{2}$.

2)

Требуется найти логарифмы чисел $64; \frac{1}{8}; 128$ по основанию $a = 2$.

Для числа $64$: найдем $log_2 64$. Ищем $x$ такой, что $2^x = 64$. Так как $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$, то $x=6$. Следовательно, $log_2 64 = 6$.

Для числа $\frac{1}{8}$: найдем $log_2 \frac{1}{8}$. Ищем $x$ такой, что $2^x = \frac{1}{8}$. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Значит, $2^x = 2^{-3}$, откуда $x=-3$. Следовательно, $log_2 \frac{1}{8} = -3$.

Для числа $128$: найдем $log_2 128$. Ищем $x$ такой, что $2^x = 128$. Так как $128 = 2^7$, то $x=7$. Следовательно, $log_2 128 = 7$.

Ответ: $6; -3; 7$.

3)

Требуется найти логарифмы чисел $7; \frac{1}{7}; 49$ по основанию $a = 7$.

Для числа $7$: найдем $log_7 7$. Так как $7^1 = 7$, то $log_7 7 = 1$.

Для числа $\frac{1}{7}$: найдем $log_7 \frac{1}{7}$. Так как $7^{-1} = \frac{1}{7}$, то $log_7 \frac{1}{7} = -1$.

Для числа $49$: найдем $log_7 49$. Так как $49 = 7^2$, то $log_7 49 = 2$.

Ответ: $1; -1; 2$.

4)

Требуется найти логарифмы чисел $4; \frac{1}{16}; \frac{1}{64}$ по основанию $a = 2$.

Для числа $4$: найдем $log_2 4$. Ищем $x$ такой, что $2^x = 4$. Так как $4 = 2^2$, то $x=2$. Следовательно, $log_2 4 = 2$.

Для числа $\frac{1}{16}$: найдем $log_2 \frac{1}{16}$. Ищем $x$ такой, что $2^x = \frac{1}{16}$. Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = 2^{-4}$. Значит, $2^x = 2^{-4}$, откуда $x=-4$. Следовательно, $log_2 \frac{1}{16} = -4$.

Для числа $\frac{1}{64}$: найдем $log_2 \frac{1}{64}$. Ищем $x$ такой, что $2^x = \frac{1}{64}$. Так как $64 = 2^6$, то $\frac{1}{64} = 2^{-6}$. Значит, $2^x = 2^{-6}$, откуда $x=-6$. Следовательно, $log_2 \frac{1}{64} = -6$.

Ответ: $2; -4; -6$.