Номер 13.7, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.7. 1) $log_{0.2} 0,008 = 3;$

2) $log_{0.3} 0,09 = 2;$

3) $log_4 \frac{1}{64} = -3;$

4) $lg10^3 = 3.$

1) Проверим равенство $ \log_{0.2} 0.008 = 3 $ по определению логарифма. Равенство $ \log_b a = c $ эквивалентно равенству $ b^c = a $. В данном случае основание $ b = 0.2 $, число $ a = 0.008 $ и показатель степени $ c = 3 $. Необходимо проверить, верно ли, что $ 0.2^3 = 0.008 $.

Выполним возведение в степень: $ 0.2^3 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.04 \cdot 0.2 = 0.008 $.

Поскольку $ 0.2^3 = 0.008 $, исходное равенство является верным.

Ответ: равенство верное.

2) Проверим равенство $ \log_{0.3} 0.09 = 2 $ по определению логарифма: $ b^c = a $.

Здесь основание $ b = 0.3 $, число $ a = 0.09 $, показатель степени $ c = 2 $. Проверим, выполняется ли равенство $ 0.3^2 = 0.09 $.

Вычислим $ 0.3^2 $: $ 0.3^2 = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09 $.

Равенство $ 0.3^2 = 0.09 $ выполняется, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: равенство верное.

3) Проверим равенство $ \log_{4} \frac{1}{64} = -3 $ по определению логарифма: $ b^c = a $.

Здесь основание $ b = 4 $, число $ a = \frac{1}{64} $, показатель степени $ c = -3 $. Проверим, выполняется ли равенство $ 4^{-3} = \frac{1}{64} $.

По свойству степени с отрицательным показателем $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $, имеем $ 4^{-3} = \frac{1}{4^3} $.

Вычислим $ 4^3 $: $ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 $.

Таким образом, $ 4^{-3} = \frac{1}{64} $. Равенство выполняется, значит, исходное равенство верно.

Другой способ решения — использовать свойства логарифмов: $ \log_{4} \frac{1}{64} = \log_{4} (64^{-1}) = \log_{4} ((4^3)^{-1}) = \log_{4} 4^{-3} $. По свойству $ \log_b b^x = x $, получаем $ \log_{4} 4^{-3} = -3 $.

Ответ: равенство верное.

4) Проверим равенство $ \lg 10^3 = 3 $.

Запись $ \lg x $ — это общепринятое обозначение десятичного логарифма, то есть логарифма по основанию 10: $ \lg x = \log_{10} x $.

Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $ \log_{10} 10^3 = 3 $.

Воспользуемся свойством логарифма $ \log_b b^x = x $. В данном случае основание $ b = 10 $ и показатель степени $ x = 3 $.

Следовательно, $ \log_{10} 10^3 = 3 $. Равенство является верным.

Ответ: равенство верное.