Номер 13.14, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.14. Решите уравнение:

1) $log_3 x = -1;$

2) $log_2 x = -5;$

3) $log_3 x = 2;$

4) $log_4 x = 3;$

5) $log_4 x = -3;$

6) $log_{\frac{1}{7}} x = 0;$

7) $log_{\frac{1}{7}} x = 1;$

8) $log_{\frac{1}{2}} x = -3.$

Для решения данных уравнений используется основное логарифмическое тождество: уравнение вида $ \log_a b = c $ эквивалентно уравнению $ a^c = b $, при этом основание логарифма $ a > 0 $ и $ a \ne 1 $, а аргумент $ b > 0 $.

1) $ \log_3 x = -1 $

По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно степенному уравнению:

$ x = 3^{-1} $

Используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем:

$ x = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

2) $ \log_2 x = -5 $

По определению логарифма:

$ x = 2^{-5} $

Вычисляем значение:

$ x = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $

Ответ: $ \frac{1}{32} $

3) $ \log_3 x = 2 $

По определению логарифма:

$ x = 3^2 $

Вычисляем значение:

$ x = 9 $

Ответ: $ 9 $

4) $ \log_4 x = 3 $

По определению логарифма:

$ x = 4^3 $

Вычисляем значение:

$ x = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $

Ответ: $ 64 $

5) $ \log_4 x = -3 $

По определению логарифма:

$ x = 4^{-3} $

Вычисляем значение:

$ x = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} $

Ответ: $ \frac{1}{64} $

6) $ \log_{\frac{1}{7}} x = 0 $

По определению логарифма:

$ x = (\frac{1}{7})^0 $

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1:

$ x = 1 $

Ответ: $ 1 $

7) $ \log_{\frac{1}{7}} x = 1 $

По определению логарифма:

$ x = (\frac{1}{7})^1 $

Вычисляем значение:

$ x = \frac{1}{7} $

Ответ: $ \frac{1}{7} $

8) $ \log_{\frac{1}{2}} x = -3 $

По определению логарифма:

$ x = (\frac{1}{2})^{-3} $

Используя свойство степени $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $, получаем:

$ x = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 $

Вычисляем значение:

$ x = 8 $

Ответ: $ 8 $