Номер 13.19, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.19. Найдите логарифмы данных чисел по основанию $a$:

1) 2; $\frac{1}{2}$; 1; 0, $a = 2$;

2) 3; -1; -3; 1, $a = 3$;

3) 4; 3; 0; -1, $a = 4$;

4) 5; 3; 0; 1, $a = 5$.

1) Для нахождения логарифмов чисел 2; $\frac{1}{2}$; 1; 0 по основанию $a=2$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = x$ означает, что $a^x = b$. Важно помнить, что по определению логарифма, число под знаком логарифма $b$ должно быть строго положительным ($b>0$), а основание $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a>0, a \ne 1$).

- $\log_2 2$: ищем показатель степени $x$, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 2. То есть, $2^x = 2$. Отсюда $x=1$.

- $\log_2 \frac{1}{2}$: ищем $x$ такой, что $2^x = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то $2^x = 2^{-1}$, откуда $x=-1$.

- $\log_2 1$: ищем $x$ такой, что $2^x = 1$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $2^0 = 1$ и $x=0$.

- $\log_2 0$: логарифм от нуля не определён, так как не существует такой степени $x$, в которую можно возвести 2, чтобы получить 0.

Ответ: $\log_2 2 = 1$; $\log_2 \frac{1}{2} = -1$; $\log_2 1 = 0$; $\log_2 0$ не существует.

2) Найдём логарифмы чисел 3; -1; -3; 1 по основанию $a=3$.

- $\log_3 3$: ищем $x$ такой, что $3^x = 3$. Отсюда $x=1$.

- $\log_3 (-1)$: логарифм от отрицательного числа не определён, так как область определения логарифмической функции — только положительные числа.

- $\log_3 (-3)$: логарифм от отрицательного числа также не определён по той же причине.

- $\log_3 1$: ищем $x$ такой, что $3^x = 1$. Так как $3^0 = 1$, то $x=0$.

Ответ: $\log_3 3 = 1$; $\log_3(-1)$ не существует; $\log_3(-3)$ не существует; $\log_3 1 = 0$.

3) Найдём логарифмы чисел 4; 3; 0; -1 по основанию $a=4$.

- $\log_4 4$: ищем $x$ такой, что $4^x = 4$. Отсюда $x=1$.

- $\log_4 3$: по определению логарифма, это и есть показатель степени, в которую нужно возвести 4, чтобы получить 3. Это иррациональное число, и его значение записывается в виде самого выражения $\log_4 3$.

- $\log_4 0$: логарифм от нуля не определён.

- $\log_4 (-1)$: логарифм от отрицательного числа не определён.

Ответ: $\log_4 4 = 1$; $\log_4 3$; $\log_4 0$ не существует; $\log_4(-1)$ не существует.

4) Найдём логарифмы чисел 5; 3; 0; 1 по основанию $a=5$.

- $\log_5 5$: ищем $x$ такой, что $5^x = 5$. Отсюда $x=1$.

- $\log_5 3$: по определению, это показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 3. Это значение является ответом и записывается как $\log_5 3$.

- $\log_5 0$: логарифм от нуля не определён.

- $\log_5 1$: ищем $x$ такой, что $5^x = 1$. Так как $5^0 = 1$, то $x=0$.

Ответ: $\log_5 5 = 1$; $\log_5 3$; $\log_5 0$ не существует; $\log_5 1 = 0$.