Номер 14.3, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.3. Перечислите свойства функции $y = f(x)$, график которой изображен на рисунке 48:

1)

2)

Рис. 48

1) Свойства функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+2)$:

1. Область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$. Таким образом, область определения $D(f) = (-2; +\infty)$.

2. Область значений функции. Областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$, и так как $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на интервале $(-2; +\infty)$.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Найдем значение $x$, при котором $y=0$:

$\log_{\frac{1}{2}}(x+2) = 0$

$x+2 = (\frac{1}{2})^0$

$x+2 = 1$

$x = -1$

График пересекает ось Ox в точке $(-1; 0)$.

5. Точка пересечения с осью Oy. Найдем значение $y$, при котором $x=0$:

$y = \log_{\frac{1}{2}}(0+2) = \log_{\frac{1}{2}}(2) = -1$

График пересекает ось Oy в точке $(0; -1)$.

6. Промежутки знакопостоянства.

Функция положительна ($y>0$), когда $\log_{\frac{1}{2}}(x+2) > 0$. Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется: $x+2 < 1$, то есть $x < -1$. С учетом области определения, $y>0$ при $x \in (-2; -1)$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда $x > -1$. С учетом области определения, $y<0$ при $x \in (-1; +\infty)$.

7. Асимптоты. График функции имеет вертикальную асимптоту $x = -2$.

8. Четность. Область определения $D(f) = (-2; +\infty)$ несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

9. Ограниченность. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу, так как ее область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-2; +\infty)$; область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$; функция является убывающей на всей области определения; нуль функции $x=-1$; $y>0$ при $x \in (-2; -1)$ и $y<0$ при $x \in (-1; +\infty)$; вертикальная асимптота $x=-2$; функция общего вида.

2) Свойства функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x-2)$:

1. Область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$. Таким образом, область определения $D(f) = (2; +\infty)$.

2. Область значений функции. Областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и так как $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на интервале $(2; +\infty)$.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Найдем значение $x$, при котором $y=0$:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) = 0$

$x-2 = (\frac{1}{3})^0$

$x-2 = 1$

$x = 3$

График пересекает ось Ox в точке $(3; 0)$.

5. Точка пересечения с осью Oy. Так как $x=0$ не входит в область определения функции, график не пересекает ось Oy.

6. Промежутки знакопостоянства.

Функция положительна ($y>0$), когда $\log_{\frac{1}{3}}(x-2) > 0$. Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется: $x-2 < 1$, то есть $x < 3$. С учетом области определения, $y>0$ при $x \in (2; 3)$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда $x > 3$. С учетом области определения, $y<0$ при $x \in (3; +\infty)$.

7. Асимптоты. График функции имеет вертикальную асимптоту $x = 2$.

8. Четность. Область определения $D(f) = (2; +\infty)$ несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

9. Ограниченность. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу, так как ее область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (2; +\infty)$; область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$; функция является убывающей на всей области определения; нуль функции $x=3$; $y>0$ при $x \in (2; 3)$ и $y<0$ при $x \in (3; +\infty)$; вертикальная асимптота $x=2$; функция общего вида.