Номер 13.20, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.20. Напишите выражение через десятичный логарифм:

1) $N = 100 \sqrt{ab^3c}$;

2) $N = \frac{a^6}{0,1c^3 \sqrt{b^6}}$;

3) $N = \sqrt[4]{10a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}}}$;

4) $N = \frac{0,001a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c} \cdot b^3}$;

5) $N = 10^4 a^5 \sqrt{b} c^{-4}$;

6) $N = \frac{c^{\frac{2}{3}}}{10^3 b^6 c^{\frac{1}{4}}}$;

7) $N = 10^{-4} \cdot a^3 b^3 c^{\frac{2}{3}}$;

8) $N = \frac{c^7}{10^7 a^{\frac{3}{2}} b^9}$.

21. Докажите:

1) Для выражения $N = 100\sqrt{ab^3c}$ найдем его десятичный логарифм.

Прологарифмируем выражение, используя свойства логарифма произведения $\lg(xyz) = \lg x + \lg y + \lg z$ и логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$.

Представим корень как степень: $\sqrt{ab^3c} = (ab^3c)^{\frac{1}{2}}$.

$\lg N = \lg(100 \cdot (ab^3c)^{\frac{1}{2}})$

$\lg N = \lg(100) + \lg((ab^3c)^{\frac{1}{2}})$

Так как $\lg(100) = \lg(10^2) = 2$, а $\lg((ab^3c)^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\lg(ab^3c)$, получаем:

$\lg N = 2 + \frac{1}{2}(\lg a + \lg b^3 + \lg c)$

$\lg N = 2 + \frac{1}{2}(\lg a + 3\lg b + \lg c)$

$\lg N = 2 + \frac{1}{2}\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{1}{2}\lg c$.

Ответ: $\lg N = 2 + \frac{1}{2}\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{1}{2}\lg c$.

2) Для выражения $N = \frac{a^6}{0.1c^3\sqrt[3]{b}}$ найдем его десятичный логарифм.

Используем свойство логарифма частного $\lg(\frac{x}{y}) = \lg x - \lg y$.

$\lg N = \lg(a^6) - \lg(0.1c^3\sqrt[3]{b})$

Применим свойства логарифма произведения и степени к обоим членам:

$\lg(a^6) = 6\lg a$

$\lg(0.1c^3\sqrt[3]{b}) = \lg(0.1) + \lg(c^3) + \lg(b^{\frac{1}{3}})$

Так как $\lg(0.1) = \lg(10^{-1}) = -1$, получаем:

$\lg(0.1c^3\sqrt[3]{b}) = -1 + 3\lg c + \frac{1}{3}\lg b$

Подставим обратно в исходное уравнение:

$\lg N = 6\lg a - (-1 + 3\lg c + \frac{1}{3}\lg b)$

$\lg N = 6\lg a + 1 - 3\lg c - \frac{1}{3}\lg b$.

Ответ: $\lg N = 1 + 6\lg a - \frac{1}{3}\lg b - 3\lg c$.

3) Для выражения $N = \sqrt[4]{10a^{\frac{1}{3}}bc^{\frac{1}{2}}}$ найдем его десятичный логарифм.

Представим корень как степень: $N = (10a^{\frac{1}{3}}bc^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}$.

$\lg N = \lg((10a^{\frac{1}{3}}bc^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}})$

$\lg N = \frac{1}{4}\lg(10a^{\frac{1}{3}}bc^{\frac{1}{2}})$

$\lg N = \frac{1}{4}(\lg 10 + \lg a^{\frac{1}{3}} + \lg b + \lg c^{\frac{1}{2}})$

Так как $\lg 10 = 1$, то:

$\lg N = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{3}\lg a + \lg b + \frac{1}{2}\lg c)$

$\lg N = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\lg a + \frac{1}{4}\lg b + \frac{1}{8}\lg c$.

Ответ: $\lg N = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\lg a + \frac{1}{4}\lg b + \frac{1}{8}\lg c$.

4) Для выражения $N = \frac{0.001a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c} \cdot b^3}$ найдем его десятичный логарифм.

Используем свойство логарифма частного: $N = \frac{0.001a^{\frac{2}{3}}}{c^{\frac{1}{2}}b^3}$.

$\lg N = \lg(0.001a^{\frac{2}{3}}) - \lg(c^{\frac{1}{2}}b^3)$

$\lg N = (\lg(0.001) + \lg(a^{\frac{2}{3}})) - (\lg(c^{\frac{1}{2}}) + \lg(b^3))$

Так как $\lg(0.001) = \lg(10^{-3}) = -3$, получаем:

$\lg N = (-3 + \frac{2}{3}\lg a) - (\frac{1}{2}\lg c + 3\lg b)$

$\lg N = -3 + \frac{2}{3}\lg a - \frac{1}{2}\lg c - 3\lg b$.

Ответ: $\lg N = -3 + \frac{2}{3}\lg a - 3\lg b - \frac{1}{2}\lg c$.

5) Для выражения $N = 10^4 a^5 \sqrt{b c^{-4}}$ найдем его десятичный логарифм.

$\lg N = \lg(10^4 \cdot a^5 \cdot (bc^{-4})^{\frac{1}{2}})$

$\lg N = \lg(10^4) + \lg(a^5) + \lg(b^{\frac{1}{2}}) + \lg(c^{-\frac{4}{2}})$

$\lg N = \lg(10^4) + \lg(a^5) + \lg(b^{\frac{1}{2}}) + \lg(c^{-2})$

Применяем свойство логарифма степени:

$\lg N = 4\lg 10 + 5\lg a + \frac{1}{2}\lg b - 2\lg c$

$\lg N = 4 + 5\lg a + \frac{1}{2}\lg b - 2\lg c$.

Ответ: $\lg N = 4 + 5\lg a + \frac{1}{2}\lg b - 2\lg c$.

6) Для выражения $N = \frac{c^{\frac{2}{a}}}{10^{\frac{3}{a}}b^6 c^{\frac{4}{a}}}$ найдем его десятичный логарифм.

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: $\frac{c^{\frac{2}{a}}}{c^{\frac{4}{a}}} = c^{\frac{2}{a} - \frac{4}{a}} = c^{-\frac{2}{a}}$.

$N = \frac{c^{-\frac{2}{a}}}{10^{\frac{3}{a}}b^6} = 10^{-\frac{3}{a}}b^{-6}c^{-\frac{2}{a}}$.

Теперь логарифмируем:

$\lg N = \lg(10^{-\frac{3}{a}}b^{-6}c^{-\frac{2}{a}})$

$\lg N = \lg(10^{-\frac{3}{a}}) + \lg(b^{-6}) + \lg(c^{-\frac{2}{a}})$

$\lg N = -\frac{3}{a}\lg 10 - 6\lg b - \frac{2}{a}\lg c$

$\lg N = -\frac{3}{a} - 6\lg b - \frac{2}{a}\lg c$.

Ответ: $\lg N = -\frac{3}{a} - 6\lg b - \frac{2}{a}\lg c$.

7) Для выражения $N = 10^{-4} \cdot a^3 b^{\frac{3}{2}} c^{\frac{2}{3}}$ найдем его десятичный логарифм.

Используем свойство логарифма произведения:

$\lg N = \lg(10^{-4}) + \lg(a^3) + \lg(b^{\frac{3}{2}}) + \lg(c^{\frac{2}{3}})$

Применяем свойство логарифма степени:

$\lg N = -4\lg 10 + 3\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{2}{3}\lg c$

$\lg N = -4 + 3\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{2}{3}\lg c$.

Ответ: $\lg N = -4 + 3\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{2}{3}\lg c$.

8) Для выражения $N = \frac{c^{\frac{4}{a-b}}}{10^7 a^{\frac{3}{a-b}} b^9}$ найдем его десятичный логарифм.

Используем свойство логарифма частного:

$\lg N = \lg(c^{\frac{4}{a-b}}) - \lg(10^7 a^{\frac{3}{a-b}} b^9)$

Раскроем логарифм произведения в вычитаемом:

$\lg N = \lg(c^{\frac{4}{a-b}}) - (\lg(10^7) + \lg(a^{\frac{3}{a-b}}) + \lg(b^9))$

Применим свойство логарифма степени ко всем членам:

$\lg N = \frac{4}{a-b}\lg c - (7\lg 10 + \frac{3}{a-b}\lg a + 9\lg b)$

$\lg N = \frac{4}{a-b}\lg c - (7 + \frac{3}{a-b}\lg a + 9\lg b)$

$\lg N = \frac{4}{a-b}\lg c - 7 - \frac{3}{a-b}\lg a - 9\lg b$.

Ответ: $\lg N = -7 - \frac{3}{a-b}\lg a - 9\lg b + \frac{4}{a-b}\lg c$.