Номер 13.16, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.16. 1) $ \frac{1}{\log_{9} 27} $;

2) $ \frac{1}{\log_{16} 8} $;

3) $ \log_{2} 128 \cdot \log_{5} \frac{1}{125} $;

4) $ \log_{3} (\log_{2} 5 \cdot \log_{5} 8) $.

1) Для решения используем свойство логарифма: $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$ \frac{1}{\log_9 27} = \log_{27} 9 $

Теперь вычислим значение $ \log_{27} 9 $. Представим основание логарифма 27 и число под логарифмом 9 в виде степеней числа 3:

$ 27 = 3^3 $

$ 9 = 3^2 $

Подставим эти значения в логарифм:

$ \log_{27} 9 = \log_{3^3} 3^2 $

Используем свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{3^3} 3^2 = \frac{2}{3} \log_3 3 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $

2) Аналогично первому пункту, используем свойство $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $.

$ \frac{1}{\log_{16} 8} = \log_8 16 $

Представим 8 и 16 в виде степеней числа 2:

$ 8 = 2^3 $

$ 16 = 2^4 $

Подставим в логарифм:

$ \log_8 16 = \log_{2^3} 2^4 $

Применим свойство $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} \log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} $

Ответ: $ \frac{4}{3} $

3) Вычислим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $ \log_2 128 $. Нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 128.

$ 128 = 2^7 $, следовательно, $ \log_2 128 = 7 $.

Второй множитель: $ \log_5 \frac{1}{125} $. Используем свойство $ \log_a \frac{1}{x} = -\log_a x $.

$ \log_5 \frac{1}{125} = -\log_5 125 $

Поскольку $ 125 = 5^3 $, то $ \log_5 125 = 3 $.

Значит, $ \log_5 \frac{1}{125} = -3 $.

Теперь перемножим полученные значения:

$ 7 \cdot (-3) = -21 $

Ответ: $ -21 $

4) Сначала упростим выражение в скобках: $ \log_2 5 \cdot \log_5 8 $.

Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию в виде свойства: $ \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c $.

Применяя это свойство, получаем:

$ \log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 $

Теперь вычислим $ \log_2 8 $. Так как $ 8 = 2^3 $, то $ \log_2 8 = 3 $.

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$ \log_3 (\log_2 5 \cdot \log_5 8) = \log_3 3 $

По определению логарифма, $ \log_a a = 1 $.

$ \log_3 3 = 1 $

Ответ: $ 1 $