Страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.12. 1) $lg4 + lg250;$

2) $log_2 6 - log_2 \frac{6}{32};$

3) $(log_{12} 4 + log_{12} 36)^2;$

4) $lg13 - lg300.$

1)

Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$. В данном случае $\lg$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

$\lg4 + \lg250 = \lg(4 \cdot 250) = \lg(1000)$.

Чтобы найти значение $\lg(1000)$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 10, чтобы получить 1000.

Так как $10^3 = 1000$, то $\lg(1000) = 3$.

Ответ: 3

2)

Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$.

$\log_2 6 - \log_2 \frac{6}{32} = \log_2 \left(6 : \frac{6}{32}\right) = \log_2 \left(6 \cdot \frac{32}{6}\right) = \log_2 32$.

Теперь найдем значение $\log_2 32$. Нужно определить, в какую степень следует возвести основание 2, чтобы получить 32.

Так как $2^5 = 32$, то $\log_2 32 = 5$.

Ответ: 5

3)

Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_{12}4 + \log_{12}36 = \log_{12}(4 \cdot 36) = \log_{12}144$.

Вычислим значение $\log_{12}144$. Так как $12^2 = 144$, то $\log_{12}144 = 2$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат, как указано в исходном выражении:

$(\log_{12}4 + \log_{12}36)^2 = (2)^2 = 4$.

Ответ: 4

4)

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$.

$\lg13 - \lg1300 = \lg\left(\frac{13}{1300}\right) = \lg\left(\frac{1}{100}\right)$.

Чтобы найти значение $\lg\left(\frac{1}{100}\right)$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 10, чтобы получить $\frac{1}{100}$.

Так как $\frac{1}{100} = 10^{-2}$, то $\lg\left(\frac{1}{100}\right) = -2$.

Ответ: -2

13.13. 1) $\left(\frac{\lg 8+\lg 18}{2 \lg 2+\lg 3}\right)^{3};$

2) $\left(\frac{\log _{3} 16}{\log _{3} 4}\right)^{-1};$

3) $(\log _{2} 13-\log _{2} 52)^{5};$

4) $(\log _{0,3} 9-2 \log _{0,3} 10)^{4}.$

1) Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: суммой логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $ и вынесением показателя степени $ n \log_a b = \log_a (b^n) $. Запись $ \lg a $ означает десятичный логарифм $ \log_{10} a $.Сначала упростим числитель дроби:$ \lg 8 + \lg 18 = \lg(8 \cdot 18) = \lg 144 = \lg(12^2) = 2\lg 12 $.Теперь упростим знаменатель:$ 2\lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12 $.Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:$ \left(\frac{\lg 8 + \lg 18}{2\lg 2 + \lg 3}\right)^3 = \left(\frac{2\lg 12}{\lg 12}\right)^3 $.Сократим дробь:$ (2)^3 = 8 $.Ответ: 8

2) Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $.Применим эту формулу к выражению в скобках:$ \frac{\log_3 16}{\log_3 4} = \log_4 16 $.Поскольку $ 4^2 = 16 $, то $ \log_4 16 = 2 $.Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:$ \left(\frac{\log_3 16}{\log_3 4}\right)^{-1} = (2)^{-1} $.Вычисляем степень:$ 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5 $.Ответ: 0,5

3) Воспользуемся свойством разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $.Упростим выражение в скобках:$ \log_2 13 - \log_2 52 = \log_2\left(\frac{13}{52}\right) = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) $.Представим $ \frac{1}{4} $ как степень двойки: $ \frac{1}{4} = 2^{-2} $.Тогда $ \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2 $.Подставим полученное значение в исходное выражение:$ (\log_2 13 - \log_2 52)^5 = (-2)^5 $.Вычисляем степень:$ (-2)^5 = -32 $.Ответ: -32

4) Применим свойства логарифмов: вынесение показателя степени $ n \log_a b = \log_a (b^n) $ и разность логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $.Сначала преобразуем второе слагаемое в скобках:$ 2\log_{0,3} 10 = \log_{0,3}(10^2) = \log_{0,3} 100 $.Теперь выражение в скобках имеет вид:$ \log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100 $.Применим свойство разности логарифмов:$ \log_{0,3}\left(\frac{9}{100}\right) $.Представим $ \frac{9}{100} $ как степень числа 0,3: $ \frac{9}{100} = \left(\frac{3}{10}\right)^2 = (0,3)^2 $.Тогда $ \log_{0,3}((0,3)^2) = 2 $.Подставим полученное значение в исходное выражение:$ (\log_{0,3} 9 - 2\log_{0,3} 10)^4 = (2)^4 $.Вычисляем степень:$ 2^4 = 16 $.Ответ: 16

13.14. Решите уравнение:

1) $log_3 x = -1;$

2) $log_2 x = -5;$

3) $log_3 x = 2;$

4) $log_4 x = 3;$

5) $log_4 x = -3;$

6) $log_{\frac{1}{7}} x = 0;$

7) $log_{\frac{1}{7}} x = 1;$

8) $log_{\frac{1}{2}} x = -3.$

Для решения данных уравнений используется основное логарифмическое тождество: уравнение вида $ \log_a b = c $ эквивалентно уравнению $ a^c = b $, при этом основание логарифма $ a > 0 $ и $ a \ne 1 $, а аргумент $ b > 0 $.

1) $ \log_3 x = -1 $

По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно степенному уравнению:

$ x = 3^{-1} $

Используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем:

$ x = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

2) $ \log_2 x = -5 $

По определению логарифма:

$ x = 2^{-5} $

Вычисляем значение:

$ x = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $

Ответ: $ \frac{1}{32} $

3) $ \log_3 x = 2 $

По определению логарифма:

$ x = 3^2 $

Вычисляем значение:

$ x = 9 $

Ответ: $ 9 $

4) $ \log_4 x = 3 $

По определению логарифма:

$ x = 4^3 $

Вычисляем значение:

$ x = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $

Ответ: $ 64 $

5) $ \log_4 x = -3 $

По определению логарифма:

$ x = 4^{-3} $

Вычисляем значение:

$ x = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} $

Ответ: $ \frac{1}{64} $

6) $ \log_{\frac{1}{7}} x = 0 $

По определению логарифма:

$ x = (\frac{1}{7})^0 $

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1:

$ x = 1 $

Ответ: $ 1 $

7) $ \log_{\frac{1}{7}} x = 1 $

По определению логарифма:

$ x = (\frac{1}{7})^1 $

Вычисляем значение:

$ x = \frac{1}{7} $

Ответ: $ \frac{1}{7} $

8) $ \log_{\frac{1}{2}} x = -3 $

По определению логарифма:

$ x = (\frac{1}{2})^{-3} $

Используя свойство степени $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $, получаем:

$ x = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 $

Вычисляем значение:

$ x = 8 $

Ответ: $ 8 $

Вычислите (13.15 – 13.17):

13.15. 1) $log_2 log_2 log_3 81$;

2) $log_2 log_3 log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$;

3) $log_{\sqrt{3}} log_5 125$;

4) $log_4 log_3 81.$

1) Вычислим выражение $log_2(log_3 81)$ по шагам. Сначала найдем значение внутреннего логарифма $log_3 81$. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 81. Так как $3^4 = 81$, то $log_3 81 = 4$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_2 4$. Так как $2^2 = 4$, то $log_2 4 = 2$.

Ответ: $2$

2) Вычислим выражение $log_2(log_3(log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}))$. Начнем с самого внутреннего логарифма: $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$. Нужно найти такую степень $x$, что $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$. Поскольку $27 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$. Следовательно, $x=3$, и $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3$.

Теперь выражение упрощается до $log_2(log_3 3)$. Вычислим $log_3 3$. Логарифм числа по тому же основанию равен 1, поэтому $log_3 3 = 1$.

Остается найти $log_2 1$. Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю. Таким образом, $log_2 1 = 0$.

Ответ: $0$

3) Вычислим выражение $log_{\sqrt{3}}(log_5 125)$. Сначала найдем значение внутреннего логарифма: $log_5 125$. Так как $5^3 = 125$, то $log_5 125 = 3$.

Теперь подставим результат во внешний логарифм: $log_{\sqrt{3}} 3$. Пусть $log_{\sqrt{3}} 3 = x$. По определению логарифма, это означает, что $(\sqrt{3})^x = 3$. Представим $\sqrt{3}$ как $3^{\frac{1}{2}}$. Тогда уравнение примет вид $(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^1$, или $3^{\frac{x}{2}} = 3^1$. Приравнивая показатели степеней, получаем $\frac{x}{2} = 1$, откуда $x = 2$.

Ответ: $2$

4) Учитывая типичную структуру подобных заданий, будем вычислять выражение в виде $log_4((log_3 81)^{\frac{1}{3}})$.

Сначала вычислим значение $log_3 81$. Мы знаем, что $3^4 = 81$, поэтому $log_3 81 = 4$.

Теперь подставим это значение в выражение: $log_4(4^{\frac{1}{3}})$.

Используя свойство логарифма $log_b(b^p) = p$, получаем, что $log_4(4^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

13.16. 1) $ \frac{1}{\log_{9} 27} $;

2) $ \frac{1}{\log_{16} 8} $;

3) $ \log_{2} 128 \cdot \log_{5} \frac{1}{125} $;

4) $ \log_{3} (\log_{2} 5 \cdot \log_{5} 8) $.

1) Для решения используем свойство логарифма: $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$ \frac{1}{\log_9 27} = \log_{27} 9 $

Теперь вычислим значение $ \log_{27} 9 $. Представим основание логарифма 27 и число под логарифмом 9 в виде степеней числа 3:

$ 27 = 3^3 $

$ 9 = 3^2 $

Подставим эти значения в логарифм:

$ \log_{27} 9 = \log_{3^3} 3^2 $

Используем свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{3^3} 3^2 = \frac{2}{3} \log_3 3 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $

2) Аналогично первому пункту, используем свойство $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $.

$ \frac{1}{\log_{16} 8} = \log_8 16 $

Представим 8 и 16 в виде степеней числа 2:

$ 8 = 2^3 $

$ 16 = 2^4 $

Подставим в логарифм:

$ \log_8 16 = \log_{2^3} 2^4 $

Применим свойство $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} \log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} $

Ответ: $ \frac{4}{3} $

3) Вычислим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $ \log_2 128 $. Нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 128.

$ 128 = 2^7 $, следовательно, $ \log_2 128 = 7 $.

Второй множитель: $ \log_5 \frac{1}{125} $. Используем свойство $ \log_a \frac{1}{x} = -\log_a x $.

$ \log_5 \frac{1}{125} = -\log_5 125 $

Поскольку $ 125 = 5^3 $, то $ \log_5 125 = 3 $.

Значит, $ \log_5 \frac{1}{125} = -3 $.

Теперь перемножим полученные значения:

$ 7 \cdot (-3) = -21 $

Ответ: $ -21 $

4) Сначала упростим выражение в скобках: $ \log_2 5 \cdot \log_5 8 $.

Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию в виде свойства: $ \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c $.

Применяя это свойство, получаем:

$ \log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 $

Теперь вычислим $ \log_2 8 $. Так как $ 8 = 2^3 $, то $ \log_2 8 = 3 $.

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$ \log_3 (\log_2 5 \cdot \log_5 8) = \log_3 3 $

По определению логарифма, $ \log_a a = 1 $.

$ \log_3 3 = 1 $

Ответ: $ 1 $

13.17. 1) $ \frac{3}{\log_8 3} - \frac{2}{\log_8 4} - \frac{1}{\log_{27} 81}; $

2) $ \frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3.6 + 1}; $

3) $ 2^{2 - \log_2 5} + \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5}; $

4) $ 3^{2 + \log_3 4} + \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4}. $

1) Для решения данного выражения вычислим значение каждого члена по отдельности.

Выражение: $\frac{3}{\log_3{3}} - \frac{2}{\log_9{4}} - \frac{1}{\log_{27}{81}}$

Первый член: $\log_3{3} = 1$, следовательно, $\frac{3}{\log_3{3}} = \frac{3}{1} = 3$.

Второй член: Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b{a} = \frac{\log_c{a}}{\log_c{b}}$ для основания 3.$\log_9{4} = \log_{3^2}{4} = \frac{1}{2}\log_3{4}$.Тогда $\frac{2}{\log_9{4}} = \frac{2}{\frac{1}{2}\log_3{4}} = \frac{4}{\log_3{4}}$.Используя свойство $\log_a{b^k} = k\log_a{b}$, получаем $\frac{4}{\log_3{2^2}} = \frac{4}{2\log_3{2}} = \frac{2}{\log_3{2}}$.

Третий член: Преобразуем логарифм в знаменателе, приведя основание и аргумент к степени 3.$\log_{27}{81} = \log_{3^3}{3^4} = \frac{4}{3}\log_3{3} = \frac{4}{3}$.Тогда $\frac{1}{\log_{27}{81}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$.

Теперь объединим все части:$3 - \frac{2}{\log_3{2}} - \frac{3}{4}$.Сгруппируем числовые значения: $3 - \frac{3}{4} = \frac{12}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.Выражение принимает вид: $\frac{9}{4} - \frac{2}{\log_3{2}}$.Используя свойство $\frac{1}{\log_b{a}} = \log_a{b}$, можно записать второй член как $2\log_2{3}$.Итоговое выражение: $\frac{9}{4} - 2\log_2{3}$.

Ответ: $\frac{9}{4} - 2\log_2{3}$.

2) Для решения данного выражения преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов.

Выражение: $\frac{\lg{2} + \lg{3}}{\lg{3,6} + 1}$

В числителе применим свойство суммы логарифмов $\lg{a} + \lg{b} = \lg(ab)$:$\lg{2} + \lg{3} = \lg(2 \cdot 3) = \lg{6}$.

В знаменателе представим $1$ как десятичный логарифм: $1 = \lg{10}$.$\lg{3,6} + 1 = \lg{3,6} + \lg{10} = \lg(3,6 \cdot 10) = \lg{36}$.

Полученная дробь: $\frac{\lg{6}}{\lg{36}}$.

Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c{a}}{\log_c{b}} = \log_b{a}$:$\frac{\lg{6}}{\lg{36}} = \log_{36}{6}$.

Так как $36 = 6^2$, то $\log_{36}{6} = \log_{6^2}{6^1} = \frac{1}{2}\log_6{6} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Для решения данного выражения преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

Выражение: $2^{2-\log_2{5}} + (\frac{1}{2})^{\log_2{5}}$

Первое слагаемое: Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:$2^{2-\log_2{5}} = \frac{2^2}{2^{\log_2{5}}}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a{b}} = b$, имеем $2^{\log_2{5}} = 5$.Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{4}{5}$.

Второе слагаемое: Представим $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$ и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n=a^{mn}$:$(\frac{1}{2})^{\log_2{5}} = (2^{-1})^{\log_2{5}} = 2^{-\log_2{5}}$.Используя свойство $k\log_a{b} = \log_a{b^k}$, получаем $2^{\log_2{5^{-1}}} = 2^{\log_2{(\frac{1}{5})}}$.По основному логарифмическому тождеству, это равно $\frac{1}{5}$.

Сложим полученные значения:$\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Ответ: $1$.

4) Для решения данного выражения преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

Выражение: $3^{2+\log_3{4}} + (\frac{1}{3})^{\log_3{4}}$

Первое слагаемое: Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:$3^{2+\log_3{4}} = 3^2 \cdot 3^{\log_3{4}}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a{b}} = b$, имеем $3^{\log_3{4}} = 4$.Таким образом, первое слагаемое равно $9 \cdot 4 = 36$.

Второе слагаемое: Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$ и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n=a^{mn}$:$(\frac{1}{3})^{\log_3{4}} = (3^{-1})^{\log_3{4}} = 3^{-\log_3{4}}$.Используя свойство $k\log_a{b} = \log_a{b^k}$, получаем $3^{\log_3{4^{-1}}} = 3^{\log_3{(\frac{1}{4})}}$.По основному логарифмическому тождеству, это равно $\frac{1}{4}$.

Сложим полученные значения:$36 + \frac{1}{4} = 36\frac{1}{4} = \frac{144}{4} + \frac{1}{4} = \frac{145}{4}$.

Ответ: $\frac{145}{4}$.

13.18. Решите уравнение:

1) $\log_x 81 = 4;$

2) $\log_x \frac{1}{16} = 2;$

3) $\log_x \frac{1}{27} = -3;$

4) $\log_x 36 = 2.$

1) Дано логарифмическое уравнение $log_x 81 = 4$.

По определению логарифма, $log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. Основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Применяя определение, получаем степенное уравнение:

$x^4 = 81$

Представим число 81 в виде степени: $81 = 3^4$.

$x^4 = 3^4$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверяем корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условиям.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.

Ответ: 3

2) Дано логарифмическое уравнение $log_x \frac{1}{16} = 2$.

Основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

По определению логарифма, переходим к степенному уравнению:

$x^2 = \frac{1}{16}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{4}$

Проверяем корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Корень $x_1 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям.

Корень $x_2 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Дано логарифмическое уравнение $log_x \frac{1}{27} = -3$.

Основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

По определению логарифма, получаем:

$x^{-3} = \frac{1}{27}$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем левую часть:

$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{27}$

Отсюда следует, что $x^3 = 27$.

Так как $27 = 3^3$, получаем $x^3 = 3^3$.

Следовательно, $x = 3$.

Этот корень удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: 3

4) Дано логарифмическое уравнение $log_x 36 = 2$.

Основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Применяя определение логарифма, переходим к уравнению:

$x^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим два корня:

$x_1 = \sqrt{36} = 6$

$x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Проверяем корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условиям.

Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.

Ответ: 6

13.19. Найдите логарифмы данных чисел по основанию $a$:

1) 2; $\frac{1}{2}$; 1; 0, $a = 2$;

2) 3; -1; -3; 1, $a = 3$;

3) 4; 3; 0; -1, $a = 4$;

4) 5; 3; 0; 1, $a = 5$.

1) Для нахождения логарифмов чисел 2; $\frac{1}{2}$; 1; 0 по основанию $a=2$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = x$ означает, что $a^x = b$. Важно помнить, что по определению логарифма, число под знаком логарифма $b$ должно быть строго положительным ($b>0$), а основание $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a>0, a \ne 1$).

- $\log_2 2$: ищем показатель степени $x$, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 2. То есть, $2^x = 2$. Отсюда $x=1$.

- $\log_2 \frac{1}{2}$: ищем $x$ такой, что $2^x = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то $2^x = 2^{-1}$, откуда $x=-1$.

- $\log_2 1$: ищем $x$ такой, что $2^x = 1$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $2^0 = 1$ и $x=0$.

- $\log_2 0$: логарифм от нуля не определён, так как не существует такой степени $x$, в которую можно возвести 2, чтобы получить 0.

Ответ: $\log_2 2 = 1$; $\log_2 \frac{1}{2} = -1$; $\log_2 1 = 0$; $\log_2 0$ не существует.

2) Найдём логарифмы чисел 3; -1; -3; 1 по основанию $a=3$.

- $\log_3 3$: ищем $x$ такой, что $3^x = 3$. Отсюда $x=1$.

- $\log_3 (-1)$: логарифм от отрицательного числа не определён, так как область определения логарифмической функции — только положительные числа.

- $\log_3 (-3)$: логарифм от отрицательного числа также не определён по той же причине.

- $\log_3 1$: ищем $x$ такой, что $3^x = 1$. Так как $3^0 = 1$, то $x=0$.

Ответ: $\log_3 3 = 1$; $\log_3(-1)$ не существует; $\log_3(-3)$ не существует; $\log_3 1 = 0$.

3) Найдём логарифмы чисел 4; 3; 0; -1 по основанию $a=4$.

- $\log_4 4$: ищем $x$ такой, что $4^x = 4$. Отсюда $x=1$.

- $\log_4 3$: по определению логарифма, это и есть показатель степени, в которую нужно возвести 4, чтобы получить 3. Это иррациональное число, и его значение записывается в виде самого выражения $\log_4 3$.

- $\log_4 0$: логарифм от нуля не определён.

- $\log_4 (-1)$: логарифм от отрицательного числа не определён.

Ответ: $\log_4 4 = 1$; $\log_4 3$; $\log_4 0$ не существует; $\log_4(-1)$ не существует.

4) Найдём логарифмы чисел 5; 3; 0; 1 по основанию $a=5$.

- $\log_5 5$: ищем $x$ такой, что $5^x = 5$. Отсюда $x=1$.

- $\log_5 3$: по определению, это показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 3. Это значение является ответом и записывается как $\log_5 3$.

- $\log_5 0$: логарифм от нуля не определён.

- $\log_5 1$: ищем $x$ такой, что $5^x = 1$. Так как $5^0 = 1$, то $x=0$.

Ответ: $\log_5 5 = 1$; $\log_5 3$; $\log_5 0$ не существует; $\log_5 1 = 0$.

13.20. Напишите выражение через десятичный логарифм:

1) $N = 100 \sqrt{ab^3c}$;

2) $N = \frac{a^6}{0,1c^3 \sqrt{b^6}}$;

3) $N = \sqrt[4]{10a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}}}$;

4) $N = \frac{0,001a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c} \cdot b^3}$;

5) $N = 10^4 a^5 \sqrt{b} c^{-4}$;

6) $N = \frac{c^{\frac{2}{3}}}{10^3 b^6 c^{\frac{1}{4}}}$;

7) $N = 10^{-4} \cdot a^3 b^3 c^{\frac{2}{3}}$;

8) $N = \frac{c^7}{10^7 a^{\frac{3}{2}} b^9}$.

21. Докажите:

1) Для выражения $N = 100\sqrt{ab^3c}$ найдем его десятичный логарифм.

Прологарифмируем выражение, используя свойства логарифма произведения $\lg(xyz) = \lg x + \lg y + \lg z$ и логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$.

Представим корень как степень: $\sqrt{ab^3c} = (ab^3c)^{\frac{1}{2}}$.

$\lg N = \lg(100 \cdot (ab^3c)^{\frac{1}{2}})$

$\lg N = \lg(100) + \lg((ab^3c)^{\frac{1}{2}})$

Так как $\lg(100) = \lg(10^2) = 2$, а $\lg((ab^3c)^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\lg(ab^3c)$, получаем:

$\lg N = 2 + \frac{1}{2}(\lg a + \lg b^3 + \lg c)$

$\lg N = 2 + \frac{1}{2}(\lg a + 3\lg b + \lg c)$

$\lg N = 2 + \frac{1}{2}\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{1}{2}\lg c$.

Ответ: $\lg N = 2 + \frac{1}{2}\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{1}{2}\lg c$.

2) Для выражения $N = \frac{a^6}{0.1c^3\sqrt[3]{b}}$ найдем его десятичный логарифм.

Используем свойство логарифма частного $\lg(\frac{x}{y}) = \lg x - \lg y$.

$\lg N = \lg(a^6) - \lg(0.1c^3\sqrt[3]{b})$

Применим свойства логарифма произведения и степени к обоим членам:

$\lg(a^6) = 6\lg a$

$\lg(0.1c^3\sqrt[3]{b}) = \lg(0.1) + \lg(c^3) + \lg(b^{\frac{1}{3}})$

Так как $\lg(0.1) = \lg(10^{-1}) = -1$, получаем:

$\lg(0.1c^3\sqrt[3]{b}) = -1 + 3\lg c + \frac{1}{3}\lg b$

Подставим обратно в исходное уравнение:

$\lg N = 6\lg a - (-1 + 3\lg c + \frac{1}{3}\lg b)$

$\lg N = 6\lg a + 1 - 3\lg c - \frac{1}{3}\lg b$.

Ответ: $\lg N = 1 + 6\lg a - \frac{1}{3}\lg b - 3\lg c$.

3) Для выражения $N = \sqrt[4]{10a^{\frac{1}{3}}bc^{\frac{1}{2}}}$ найдем его десятичный логарифм.

Представим корень как степень: $N = (10a^{\frac{1}{3}}bc^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}$.

$\lg N = \lg((10a^{\frac{1}{3}}bc^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}})$

$\lg N = \frac{1}{4}\lg(10a^{\frac{1}{3}}bc^{\frac{1}{2}})$

$\lg N = \frac{1}{4}(\lg 10 + \lg a^{\frac{1}{3}} + \lg b + \lg c^{\frac{1}{2}})$

Так как $\lg 10 = 1$, то:

$\lg N = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{3}\lg a + \lg b + \frac{1}{2}\lg c)$

$\lg N = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\lg a + \frac{1}{4}\lg b + \frac{1}{8}\lg c$.

Ответ: $\lg N = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\lg a + \frac{1}{4}\lg b + \frac{1}{8}\lg c$.

4) Для выражения $N = \frac{0.001a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c} \cdot b^3}$ найдем его десятичный логарифм.

Используем свойство логарифма частного: $N = \frac{0.001a^{\frac{2}{3}}}{c^{\frac{1}{2}}b^3}$.

$\lg N = \lg(0.001a^{\frac{2}{3}}) - \lg(c^{\frac{1}{2}}b^3)$

$\lg N = (\lg(0.001) + \lg(a^{\frac{2}{3}})) - (\lg(c^{\frac{1}{2}}) + \lg(b^3))$

Так как $\lg(0.001) = \lg(10^{-3}) = -3$, получаем:

$\lg N = (-3 + \frac{2}{3}\lg a) - (\frac{1}{2}\lg c + 3\lg b)$

$\lg N = -3 + \frac{2}{3}\lg a - \frac{1}{2}\lg c - 3\lg b$.

Ответ: $\lg N = -3 + \frac{2}{3}\lg a - 3\lg b - \frac{1}{2}\lg c$.

5) Для выражения $N = 10^4 a^5 \sqrt{b c^{-4}}$ найдем его десятичный логарифм.

$\lg N = \lg(10^4 \cdot a^5 \cdot (bc^{-4})^{\frac{1}{2}})$

$\lg N = \lg(10^4) + \lg(a^5) + \lg(b^{\frac{1}{2}}) + \lg(c^{-\frac{4}{2}})$

$\lg N = \lg(10^4) + \lg(a^5) + \lg(b^{\frac{1}{2}}) + \lg(c^{-2})$

Применяем свойство логарифма степени:

$\lg N = 4\lg 10 + 5\lg a + \frac{1}{2}\lg b - 2\lg c$

$\lg N = 4 + 5\lg a + \frac{1}{2}\lg b - 2\lg c$.

Ответ: $\lg N = 4 + 5\lg a + \frac{1}{2}\lg b - 2\lg c$.

6) Для выражения $N = \frac{c^{\frac{2}{a}}}{10^{\frac{3}{a}}b^6 c^{\frac{4}{a}}}$ найдем его десятичный логарифм.

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: $\frac{c^{\frac{2}{a}}}{c^{\frac{4}{a}}} = c^{\frac{2}{a} - \frac{4}{a}} = c^{-\frac{2}{a}}$.

$N = \frac{c^{-\frac{2}{a}}}{10^{\frac{3}{a}}b^6} = 10^{-\frac{3}{a}}b^{-6}c^{-\frac{2}{a}}$.

Теперь логарифмируем:

$\lg N = \lg(10^{-\frac{3}{a}}b^{-6}c^{-\frac{2}{a}})$

$\lg N = \lg(10^{-\frac{3}{a}}) + \lg(b^{-6}) + \lg(c^{-\frac{2}{a}})$

$\lg N = -\frac{3}{a}\lg 10 - 6\lg b - \frac{2}{a}\lg c$

$\lg N = -\frac{3}{a} - 6\lg b - \frac{2}{a}\lg c$.

Ответ: $\lg N = -\frac{3}{a} - 6\lg b - \frac{2}{a}\lg c$.

7) Для выражения $N = 10^{-4} \cdot a^3 b^{\frac{3}{2}} c^{\frac{2}{3}}$ найдем его десятичный логарифм.

Используем свойство логарифма произведения:

$\lg N = \lg(10^{-4}) + \lg(a^3) + \lg(b^{\frac{3}{2}}) + \lg(c^{\frac{2}{3}})$

Применяем свойство логарифма степени:

$\lg N = -4\lg 10 + 3\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{2}{3}\lg c$

$\lg N = -4 + 3\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{2}{3}\lg c$.

Ответ: $\lg N = -4 + 3\lg a + \frac{3}{2}\lg b + \frac{2}{3}\lg c$.

8) Для выражения $N = \frac{c^{\frac{4}{a-b}}}{10^7 a^{\frac{3}{a-b}} b^9}$ найдем его десятичный логарифм.

Используем свойство логарифма частного:

$\lg N = \lg(c^{\frac{4}{a-b}}) - \lg(10^7 a^{\frac{3}{a-b}} b^9)$

Раскроем логарифм произведения в вычитаемом:

$\lg N = \lg(c^{\frac{4}{a-b}}) - (\lg(10^7) + \lg(a^{\frac{3}{a-b}}) + \lg(b^9))$

Применим свойство логарифма степени ко всем членам:

$\lg N = \frac{4}{a-b}\lg c - (7\lg 10 + \frac{3}{a-b}\lg a + 9\lg b)$

$\lg N = \frac{4}{a-b}\lg c - (7 + \frac{3}{a-b}\lg a + 9\lg b)$

$\lg N = \frac{4}{a-b}\lg c - 7 - \frac{3}{a-b}\lg a - 9\lg b$.

Ответ: $\lg N = -7 - \frac{3}{a-b}\lg a - 9\lg b + \frac{4}{a-b}\lg c$.