Страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.5. 1) $\log_{\sqrt{7}} 8$ и 1;

2) $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10$ и $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8$;

3) $\log_{\pi} \frac{3}{16}$ и $\log_{\pi} \frac{1}{16}$;

4) $\log_{0,9} \sqrt{3}$ и $\log_{0,9} 2$.

1) Чтобы сравнить числа $ \log_{\sqrt{7}} 8 $ и $ 1 $, воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции $ y = \log_a x $.

Основание логарифма $ a = \sqrt{7} $. Так как $ 7 > 1 $, то и $ \sqrt{7} > \sqrt{1} = 1 $. Поскольку основание больше единицы, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Представим число $ 1 $ в виде логарифма с основанием $ \sqrt{7} $: $ 1 = \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7} $.

Теперь задача сводится к сравнению аргументов $ 8 $ и $ \sqrt{7} $. Так как $ 8^2 = 64 $ и $ (\sqrt{7})^2 = 7 $, а $ 64 > 7 $, то $ 8 > \sqrt{7} $.

Поскольку функция возрастающая и $ 8 > \sqrt{7} $, мы можем заключить, что $ \log_{\sqrt{7}} 8 > \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7} $, следовательно, $ \log_{\sqrt{7}} 8 > 1 $.

Ответ: $ \log_{\sqrt{7}} 8 > 1 $.

2) Для сравнения $ \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10 $ и $ \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8 $ определим характер монотонности функции $ y = \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} x $.

Основание логарифма $ a = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 $, то $ 0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 $. Поскольку основание находится в интервале от $ 0 $ до $ 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним аргументы логарифмов: $ 10 $ и $ 8 $. Очевидно, что $ 10 > 8 $.

Так как функция убывающая, то из неравенства $ 10 > 8 $ следует обратное неравенство для логарифмов: $ \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10 < \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8 $.

Ответ: $ \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10 < \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8 $.

3) Чтобы сравнить $ \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{3}{16} $ и $ \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{1}{16} $, рассмотрим логарифмическую функцию $ y = \log_{\frac{\pi}{16}} x $.

Основание логарифма $ a = \frac{\pi}{16} $. Используя приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $, видим, что $ 0 < \pi < 16 $, а значит $ 0 < \frac{\pi}{16} < 1 $. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей.

Сравним аргументы логарифмов: $ \frac{3}{16} $ и $ \frac{1}{16} $. Ясно, что $ \frac{3}{16} > \frac{1}{16} $.

Поскольку функция убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Таким образом, $ \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{3}{16} < \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{1}{16} $.

Ответ: $ \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{3}{16} < \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{1}{16} $.

4) Для сравнения $ \log_{0.9} \sqrt{3} $ и $ \log_{0.9} 2 $ рассмотрим функцию $ y = \log_{0.9} x $.

Основание логарифма $ a = 0.9 $. Так как $ 0 < 0.9 < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним аргументы: $ \sqrt{3} $ и $ 2 $. Для этого сравним их квадраты: $ (\sqrt{3})^2 = 3 $ и $ 2^2 = 4 $. Поскольку $ 3 < 4 $, то и $ \sqrt{3} < 2 $.

Так как функция убывающая, то из неравенства $ \sqrt{3} < 2 $ следует обратное неравенство для их логарифмов: $ \log_{0.9} \sqrt{3} > \log_{0.9} 2 $.

Ответ: $ \log_{0.9} \sqrt{3} > \log_{0.9} 2 $.

14.6. Найдите, сколько точек пересечения имеют графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x$;

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = -x$;

3) $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = x^2$;

4) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $g(x) = -x^2$.

1) f(x) = lg x и g(x) = x

Чтобы найти количество точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, необходимо определить количество действительных корней уравнения $f(x)=g(x)$. В данном случае получаем уравнение $\lg x = x$.

Область определения логарифмической функции требует, чтобы $x > 0$.Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = x - \lg x$. Количество точек пересечения равно количеству решений уравнения $h(x) = 0$.Для анализа поведения функции $h(x)$ найдем ее производную:$h'(x) = (x - \lg x)' = (x - \frac{\ln x}{\ln 10})' = 1 - \frac{1}{x \ln 10}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$h'(x) = 0 \implies 1 - \frac{1}{x \ln 10} = 0 \implies x \ln 10 = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 10}$.Это точка минимума, так как вторая производная $h''(x) = (\frac{1}{x^2 \ln 10})$ положительна при $x > 0$.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$ в точке $x_0 = \frac{1}{\ln 10}$:$h(x_0) = \frac{1}{\ln 10} - \lg\left(\frac{1}{\ln 10}\right) = \frac{1}{\ln 10} - (-\lg(\ln 10)) = \frac{1}{\ln 10} + \frac{\ln(\ln 10)}{\ln 10} = \frac{1 + \ln(\ln 10)}{\ln 10}$.Так как $\ln 10 \approx 2.302 > 1$, то $\ln(\ln 10) > \ln(1) = 0$.Следовательно, числитель $1 + \ln(\ln 10)$ положителен, и знаменатель $\ln 10$ положителен. Таким образом, минимальное значение функции $h(x)$ больше нуля.

Это означает, что $h(x) = x - \lg x > 0$ для всех $x > 0$, и уравнение $\lg x = x$ не имеет действительных корней. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0

2) f(x) = lg x и g(x) = -x

Необходимо найти количество решений уравнения $\lg x = -x$. Область определения: $x > 0$.Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = \lg x + x$. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения $h(x) = 0$.

Функция $y_1 = \lg x$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$.Функция $y_2 = x$ также является строго возрастающей.Их сумма $h(x) = \lg x + x$ также является строго возрастающей функцией.

Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза, то есть уравнение $h(x)=0$ может иметь не более одного корня.

Исследуем поведение функции $h(x)$ на границах области определения:При $x \to 0^+$, $\lg x \to -\infty$, следовательно, $h(x) \to -\infty$.При $x \to +\infty$, $\lg x \to +\infty$ и $x \to +\infty$, следовательно, $h(x) \to +\infty$.

Так как функция $h(x)$ непрерывна на $(0, +\infty)$ и ее значения изменяются от $-\infty$ до $+\infty$, по теореме о промежуточном значении, она должна принять значение $0$ хотя бы в одной точке. Поскольку функция строго возрастает, такая точка единственна.

Таким образом, существует ровно одна точка пересечения.

Ответ: 1

3) f(x) = log₂x и g(x) = x²

Необходимо найти количество решений уравнения $\log_2 x = x^2$. Область определения: $x > 0$.Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = \log_2 x - x^2$. Ищем количество корней уравнения $h(x) = 0$.Найдем производную функции $h(x)$:$h'(x) = (\log_2 x - x^2)' = \frac{1}{x \ln 2} - 2x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$\frac{1}{x \ln 2} - 2x = 0 \implies \frac{1}{x \ln 2} = 2x \implies 1 = 2x^2 \ln 2 \implies x^2 = \frac{1}{2 \ln 2}$.Так как $x > 0$, существует единственная критическая точка $x_0 = \sqrt{\frac{1}{2 \ln 2}} = \frac{1}{\sqrt{\ln 4}}$.

Найдем вторую производную: $h''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 2} - 2$.При $x > 0$ значение $h''(x)$ всегда отрицательно. Это означает, что функция $h(x)$ является вогнутой, а в критической точке $x_0$ достигается глобальный максимум.

Найдем максимальное значение функции $h(x)$:$h(x_0) = \log_2(x_0) - x_0^2$.Мы знаем, что $x_0^2 = \frac{1}{\ln 4}$.$\log_2(x_0) = \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{\ln 4}}\right) = -\frac{1}{2}\log_2(\ln 4) = -\frac{1}{2} \frac{\ln(\ln 4)}{\ln 2} = -\frac{\ln(\ln 4)}{\ln 4}$.Тогда максимальное значение:$h(x_0) = -\frac{\ln(\ln 4)}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 4} = -\frac{1 + \ln(\ln 4)}{\ln 4}$.

Так как $\ln 4 \approx 1.386 > 1$, то $\ln(\ln 4) > 0$.Следовательно, числитель $1 + \ln(\ln 4)$ положителен, знаменатель $\ln 4$ также положителен. Вся дробь положительна. Из-за знака минус перед дробью, максимальное значение $h(x_0)$ отрицательно.

Поскольку максимальное значение функции $h(x)$ отрицательно, то $h(x) = \log_2 x - x^2 < 0$ для всех $x > 0$. Уравнение $\log_2 x = x^2$ не имеет действительных корней, и графики не пересекаются.

Ответ: 0

4) f(x) = log₁/₃x и g(x) = -x²

Необходимо найти количество решений уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = -x^2$. Область определения: $x > 0$.Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$:$-\log_3 x = -x^2 \implies \log_3 x = x^2$.

Эта задача аналогична предыдущей, только с основанием логарифма 3 вместо 2. Рассмотрим функцию $h(x) = \log_3 x - x^2$.Ее производная: $h'(x) = \frac{1}{x \ln 3} - 2x$.Приравнивая к нулю, находим критическую точку: $x_0 = \sqrt{\frac{1}{2 \ln 3}} = \frac{1}{\sqrt{\ln 9}}$.Вторая производная $h''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 3} - 2$ всегда отрицательна для $x > 0$, значит, в точке $x_0$ достигается глобальный максимум.

Найдем максимальное значение $h(x_0) = \log_3(x_0) - x_0^2$:$x_0^2 = \frac{1}{\ln 9}$.$\log_3(x_0) = \log_3\left(\frac{1}{\sqrt{\ln 9}}\right) = -\frac{1}{2}\log_3(\ln 9) = -\frac{\ln(\ln 9)}{2\ln 3} = -\frac{\ln(\ln 9)}{\ln 9}$.$h(x_0) = -\frac{\ln(\ln 9)}{\ln 9} - \frac{1}{\ln 9} = -\frac{1 + \ln(\ln 9)}{\ln 9}$.

Так как $\ln 9 \approx 2.197 > 1$, то $\ln(\ln 9) > 0$.Числитель $1 + \ln(\ln 9)$ и знаменатель $\ln 9$ положительны. Следовательно, максимальное значение $h(x_0)$ отрицательно.

Это означает, что $\log_3 x - x^2 < 0$ для всех $x > 0$. Уравнение $\log_3 x = x^2$ (и, следовательно, исходное уравнение) не имеет решений. Графики функций не пересекаются.

Ответ: 0

14.7. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \log_{1,5}(x^2 - 4) + \log_3(9 - x^2)$;

2) $f(x) = \log_4 x^3 - \log_{1,8}(x^2 - x)$;

3) $f(x) = \log_{1,5} \frac{x^2 - 1}{x + 5} - \sqrt{x}$;

4) $f(x) = \log_{0,7} \frac{4 - x^2}{6 - x} + \log_6 x$.

1) Область определения функции $f(x) = \log_{1,5}(x^2 - 4) + \log_{3}(9 - x^2)$ находится как пересечение областей определения каждого слагаемого. Аргумент логарифмической функции должен быть строго больше нуля. Поэтому необходимо решить систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 - 4 > 0 \\9 - x^2 > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$9 - x^2 > 0$

$x^2 < 9$

$|x| < 3$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-3, 3)$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (-3, 3)$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-3, -2)$ и $(2, 3)$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-3, -2) \cup (2, 3)$.

Ответ: $D(f) = (-3, -2) \cup (2, 3)$.

2) Область определения функции $f(x) = \log_4(x^3) - \log_{1,8}(x^2 - x)$ определяется условиями, что аргументы обоих логарифмов должны быть положительными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases}x^3 > 0 \\x^2 - x > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^3 > 0$

Это неравенство справедливо при $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(0, +\infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty))$.

Пересечение дает интервал $(1, +\infty)$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \log_{1,5}\left(\frac{x^2 - 1}{x + 5}\right) - \sqrt{x}$ определена, если выполнены два условия: аргумент логарифма положителен, и подкоренное выражение неотрицательно. Составим систему неравенств:

$\begin{cases}\frac{x^2 - 1}{x + 5} > 0 \\x \ge 0\end{cases}$

Решим первое неравенство методом интервалов:

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 5} > 0$

Нули числителя: $x = 1$, $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = -5$.

На числовой оси отмечаем точки -5, -1, 1 и определяем знаки дроби в каждом из интервалов: $(-\infty, -5)$, $(-5, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.

Дробь положительна на интервалах $x \in (-5, -1) \cup (1, +\infty)$.

Второе условие: $x \ge 0$, то есть $x \in [0, +\infty)$.

Найдем пересечение полученных множеств: $ ((-5, -1) \cup (1, +\infty)) \cap [0, +\infty)$.

Пересечение дает интервал $(1, +\infty)$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = \log_{0,7}\left(\frac{4 - x^2}{6 - x}\right) + \log_6(x)$ определяется системой неравенств, так как аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases}\frac{4 - x^2}{6 - x} > 0 \\x > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{(2 - x)(2 + x)}{6 - x} > 0$

Применим метод интервалов. Критические точки: $x = -2$, $x = 2$, $x = 6$.

Наносим точки на числовую прямую и определяем знаки выражения в интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 6)$, $(6, +\infty)$.

Выражение положительно при $x \in (-2, 2) \cup (6, +\infty)$.

Второе условие: $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $ ((-2, 2) \cup (6, +\infty)) \cap (0, +\infty)$.

Пересечение интервала $(-2, 2)$ с $(0, +\infty)$ дает $(0, 2)$.

Пересечение интервала $(6, +\infty)$ с $(0, +\infty)$ дает $(6, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем область определения функции: $D(f) = (0, 2) \cup (6, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (0, 2) \cup (6, +\infty)$.

14.8. Найдите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = -\log_5(x + 1)$;

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x) + 5$;

3) $f(x) = |\log_7(x + 1)|$;

4) $f(x) = |\lg x| + 6$.

1) f(x) = -log₅(x + 1)

Рассмотрим базовую логарифмическую функцию $g(x) = \log_5(x)$. Множество значений этой функции — все действительные числа, то есть $E(g) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $h(x) = \log_5(x+1)$ является результатом сдвига графика функции $g(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Такой сдвиг не влияет на множество значений, поэтому множество значений функции $h(x)$ также $(-\infty; +\infty)$.

Функция $f(x) = -\log_5(x+1)$ является результатом симметричного отражения графика функции $h(x)$ относительно оси абсцисс. Если множество значений $h(x)$ — это все действительные числа, то и после отражения оно останется прежним, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) f(x) = log₁/₃(1 + x) + 5

Рассмотрим базовую логарифмическую функцию $g(x) = \log_{1/3}(x)$. Так как основание логарифма $1/3$ находится в интервале $(0; 1)$, множество значений этой функции — все действительные числа, $E(g) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $h(x) = \log_{1/3}(1+x)$ получается из $g(x)$ сдвигом влево на 1, что не меняет множество значений. $E(h) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $f(x) = \log_{1/3}(1+x) + 5$ является результатом сдвига графика функции $h(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси ординат. Если к каждому значению из множества $(-\infty; +\infty)$ прибавить 5, множество не изменится.

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3) f(x) = |log₇(x + 1)|

Сначала найдем множество значений функции $h(x) = \log_7(x+1)$. Основание логарифма $7 > 1$, поэтому, как и в предыдущих примерах, множество значений этой функции — все действительные числа, $E(h) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $f(x) = |h(x)|$ — это модуль функции $h(x)$. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Так как $h(x)$ принимает все действительные значения, то $|h(x)|$ будет принимать все неотрицательные значения.

Наименьшее значение равно 0 (когда $\log_7(x+1) = 0$, то есть при $x=0$). Верхней границы нет. Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [0; +\infty)$.

4) f(x) = |lgx| + 6

Рассмотрим функцию $g(x) = \lg x$ (десятичный логарифм, $\log_{10}x$). Множество её значений — все действительные числа, $E(g) = (-\infty; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $h(x) = |\lg x|$. Так как $g(x)$ принимает все действительные значения, модуль этой функции, $h(x)$, будет принимать все неотрицательные значения. Таким образом, $E(h) = [0; +\infty)$.

Функция $f(x) = |\lg x| + 6$ получается из $h(x)$ сдвигом на 6 единиц вверх. Если к каждому значению из промежутка $[0; +\infty)$ прибавить 6, получим промежуток $[0+6; +\infty+6)$, то есть $[6; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [6; +\infty)$.

14.9. Постройте график функции $y = f(x)$ и перечислите ее свойства:

1) $f(x) = \log_4 (x + 3);$

2) $f(x) = -\log_2 x + 2;$

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1);$

4) $f(x) = \log_{0,5} x - 3.$

14.10. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и

1) $f(x) = \log_4(x + 3)$

Построение графика:

График функции $y = \log_4(x + 3)$ получается из графика базовой функции $y = \log_4 x$ сдвигом влево вдоль оси абсцисс на 3 единицы. Исходный график $y = \log_4 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1; 0)$ и $(4; 1)$, с вертикальной асимптотой $x = 0$. После сдвига асимптота становится $x = -3$, а точки смещаются в $(-2; 0)$ и $(1; 1)$ соответственно.

Свойства функции:

1. Область определения: $x + 3 > 0$, то есть $D(f) = (-3; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность: функция возрастает на всей области определения, так как основание $4 > 1$.

4. Нули функции: $\log_4(x + 3) = 0 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x > -2$; $f(x) < 0$ при $-3 < x < -2$.

6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x = -3$.

7. Четность: функция общего вида, так как область определения не симметрична относительно начала координат.

8. Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График строится сдвигом $y = \log_4 x$ на 3 единицы влево. Свойства: $D(f) = (-3; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция возрастающая, нуль $x=-2$, асимптота $x=-3$, общего вида, без экстремумов.

2) $f(x) = -\log_2 x + 2$

Построение графика:

График функции $y = -\log_2 x + 2$ получается из графика $y = \log_2 x$ двумя преобразованиями: симметричным отражением относительно оси Ox и сдвигом вверх на 2 единицы. Исходный график $y = \log_2 x$ проходит через $(1; 0)$ и $(2; 1)$. После отражения ($y = -\log_2 x$) он будет проходить через $(1; 0)$ и $(2; -1)$, становясь убывающим. После сдвига вверх ($y = -\log_2 x + 2$) точки сместятся в $(1; 2)$ и $(2; 1)$. Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.

Свойства функции:

1. Область определения: $x > 0$, то есть $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность: функция убывает на всей области определения (отражение возрастающей функции).

4. Нули функции: $-\log_2 x + 2 = 0 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 4$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $0 < x < 4$; $f(x) < 0$ при $x > 4$.

6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

7. Четность: функция общего вида.

8. Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График строится отражением $y = \log_2 x$ относительно оси Ox и сдвигом на 2 единицы вверх. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция убывающая, нуль $x=4$, асимптота $x=0$, общего вида, без экстремумов.

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$

Построение графика:

График функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$ получается из графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом вправо вдоль оси абсцисс на 1 единицу. Исходный график $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это убывающая кривая (основание $0 < \frac{1}{3} < 1$), проходящая через точки $(1; 0)$ и $(3; -1)$, с вертикальной асимптотой $x = 0$. После сдвига асимптота становится $x = 1$, а точки смещаются в $(2; 0)$ и $(4; -1)$.

Свойства функции:

1. Область определения: $x - 1 > 0$, то есть $D(f) = (1; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность: функция убывает на всей области определения, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.

4. Нули функции: $\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) = 0 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $1 < x < 2$; $f(x) < 0$ при $x > 2$.

6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 1$.

7. Четность: функция общего вида.

8. Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График строится сдвигом $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ на 1 единицу вправо. Свойства: $D(f) = (1; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция убывающая, нуль $x=2$, асимптота $x=1$, общего вида, без экстремумов.

4) $f(x) = \log_{0.5} x - 3$

Построение графика:

График функции $y = \log_{0.5} x - 3$ получается из графика базовой функции $y = \log_{0.5} x$ сдвигом вниз вдоль оси ординат на 3 единицы. Исходный график $y = \log_{0.5} x$ — это убывающая кривая (основание $0 < 0.5 < 1$), проходящая через точки $(1; 0)$ и $(2; -1)$. После сдвига вниз точки сместятся в $(1; -3)$ и $(2; -4)$. Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.

Свойства функции:

1. Область определения: $x > 0$, то есть $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность: функция убывает на всей области определения, так как основание $0 < 0.5 < 1$.

4. Нули функции: $\log_{0.5} x - 3 = 0 \implies \log_{0.5} x = 3 \implies x = (0.5)^3 = \frac{1}{8}$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $0 < x < \frac{1}{8}$; $f(x) < 0$ при $x > \frac{1}{8}$.

6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

7. Четность: функция общего вида.

8. Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График строится сдвигом $y = \log_{0.5} x$ на 3 единицы вниз. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция убывающая, нуль $x=\frac{1}{8}$, асимптота $x=0$, общего вида, без экстремумов.

14.10. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x):$

1) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x - 1;$

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x + 1;$

3) $f(x) = \log_5 x$ и $g(x) = 7 + x;$

4) $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = 2 - x.$

1) Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x - 1$, нужно найти количество решений уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $\log_{\frac{1}{2}} x = x - 1$.

Область определения логарифмической функции: $x > 0$.

Проанализируем поведение функций. Функция $y = f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей на всей своей области определения, так как ее основание $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Функция $y = g(x) = x - 1$ является возрастающей, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=1$.

Возрастающая и убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Проверим, существует ли такая точка, подобрав возможное значение $x$.

Пусть $x=1$. Тогда:

$f(1) = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$

$g(1) = 1 - 1 = 0$

Поскольку $f(1) = g(1)$, $x=1$ является решением уравнения. Так как это единственно возможное решение, графики функций имеют одну точку пересечения.

Ответ: 1

2) Найдем число решений уравнения $\lg x = x + 1$.

Область определения: $x > 0$.

Обе функции, $f(x) = \lg x$ (логарифм по основанию 10) и $g(x) = x + 1$, являются возрастающими. График функции $f(x)$ является вогнутым (выпуклым вверх), а график $g(x)$ — прямая. Такая комбинация может иметь 0, 1 или 2 точки пересечения.

Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = g(x) - f(x) = x + 1 - \lg x$. Число точек пересечения исходных графиков равно числу корней уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную функции $h(x)$:

$h'(x) = (x + 1 - \lg x)' = 1 - \frac{1}{x \ln 10}$

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$1 - \frac{1}{x \ln 10} = 0 \implies x \ln 10 = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 10}$

При $0 < x < \frac{1}{\ln 10}$, $h'(x) < 0$, функция $h(x)$ убывает. При $x > \frac{1}{\ln 10}$, $h'(x) > 0$, функция $h(x)$ возрастает. Следовательно, в точке $x = \frac{1}{\ln 10}$ функция $h(x)$ достигает своего минимума.

Найдем минимальное значение функции:

$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 10}) = \frac{1}{\ln 10} + 1 - \lg(\frac{1}{\ln 10}) = \frac{1}{\ln 10} + 1 + \lg(\ln 10)$

Так как $\ln 10 \approx 2.3 > 1$, то все три слагаемых положительны: $\frac{1}{\ln 10} > 0$, $1 > 0$, и $\lg(\ln 10) > \lg 1 = 0$. Сумма положительных чисел положительна, значит $h_{min} > 0$.

Поскольку минимальное значение функции $h(x)$ строго больше нуля, то $h(x) > 0$ для всех $x > 0$. Уравнение $h(x) = 0$ не имеет решений. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0

3) Найдем число решений уравнения $\log_5 x = 7 + x$.

Область определения: $x > 0$.

Обе функции, $f(x) = \log_5 x$ и $g(x) = 7 + x$, являются возрастающими. Решим задачу, проанализировав вспомогательную функцию $h(x) = g(x) - f(x) = 7 + x - \log_5 x$.

Найдем производную:

$h'(x) = (7 + x - \log_5 x)' = 1 - \frac{1}{x \ln 5}$

Найдем точку минимума из условия $h'(x) = 0$:

$1 - \frac{1}{x \ln 5} = 0 \implies x \ln 5 = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 5}$

Аналогично предыдущему пункту, это точка минимума. Найдем минимальное значение функции:

$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 5}) = 7 + \frac{1}{\ln 5} - \log_5(\frac{1}{\ln 5}) = 7 + \frac{1}{\ln 5} + \log_5(\ln 5)$

Так как $\ln 5 \approx 1.6 > 1$, то слагаемые $\frac{1}{\ln 5}$ и $\log_5(\ln 5)$ положительны. Следовательно, $h_{min} = 7 + (\text{положительное число}) + (\text{положительное число}) > 7$.

Минимальное значение функции $h(x)$ положительно, значит, $h(x)$ никогда не обращается в ноль. Графики не имеют точек пересечения.

Ответ: 0

4) Найдем число решений уравнения $\log_{0.5} x = 2 - x$.

Область определения: $x > 0$.

Обе функции, $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = 2 - x$, являются убывающими. График $f(x)$ является выпуклым (выпуклым вниз), а $g(x)$ — прямая. Такая комбинация может иметь 0, 1 или 2 точки пересечения.

Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - g(x) = \log_{0.5} x - (2 - x) = \log_{0.5} x + x - 2$.

Найдем ее производную:

$h'(x) = (\log_{0.5} x + x - 2)' = \frac{1}{x \ln 0.5} + 1 = 1 - \frac{1}{x \ln 2}$

Найдем точку экстремума из условия $h'(x) = 0$:

$1 - \frac{1}{x \ln 2} = 0 \implies x \ln 2 = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 2}$

При $0 < x < \frac{1}{\ln 2}$ производная $h'(x) < 0$, функция $h(x)$ убывает. При $x > \frac{1}{\ln 2}$ производная $h'(x) > 0$, функция $h(x)$ возрастает. Значит, $x = \frac{1}{\ln 2}$ — точка минимума.

Найдем минимальное значение функции:

$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 2}) = \log_{0.5}(\frac{1}{\ln 2}) + \frac{1}{\ln 2} - 2 = \log_{2^{-1}}((\ln 2)^{-1}) + \frac{1}{\ln 2} - 2 = \log_2(\ln 2) + \frac{1}{\ln 2} - 2$

Оценим значение $h_{min}$. $\ln 2 \approx 0.693$.

Поскольку $0.5 < \ln 2 < 1$, то $\log_2(\ln 2)$ находится между $\log_2(0.5)=-1$ и $\log_2(1)=0$. То есть $\log_2(\ln 2)$ — отрицательное число.

$\frac{1}{\ln 2} \approx \frac{1}{0.693} \approx 1.443$.

$h_{min} \approx \log_2(0.693) + 1.443 - 2$. Так как $\log_2(0.693) < 0$, то $h_{min} < 1.443 - 2 = -0.557$. Минимальное значение функции отрицательно.

Рассмотрим поведение $h(x)$ на границах области определения:

При $x \to 0^+$, $\log_{0.5} x \to +\infty$, поэтому $h(x) \to +\infty$.

При $x \to +\infty$, линейная функция $x$ растет быстрее, чем логарифмическая, поэтому $h(x) = x + \log_{0.5} x - 2 \to +\infty$.

Функция $h(x)$ убывает от $+\infty$ до отрицательного минимального значения, а затем возрастает до $+\infty$. Следовательно, она пересекает ось абсцисс дважды. Это означает, что уравнение $h(x)=0$ имеет два решения.

Ответ: 2

14.11. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1) $f(x) = \log_3 x$, $[1; 9]$; 2) $f(x) = \log_{0.5} x$, $[0.5; 4]$;

3) $f(x) = \log_7 x$, $[1; 7]$; 4) $f(x) = \log_{\sqrt{5}} x$, $[5; 25]$.

1) Для функции $f(x) = \log_3 x$ на отрезке $[1; 9]$.

Основание логарифма $a=3$. Так как $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(1) = \log_3 1 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(9) = \log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

2) Для функции $f(x) = \log_{0.5} x$ на отрезке $[0.5; 4]$.

Основание логарифма $a=0.5$. Так как $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Это означает, что наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(0.5) = \log_{0.5} 0.5 = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(4) = \log_{0.5} 4 = \log_{1/2} (2^2) = \log_{2^{-1}} (2^2) = \frac{2}{-1}\log_2 2 = -2$.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 1.

3) Для функции $f(x) = \log_7 x$ на отрезке $[1; 7]$.

Основание логарифма $a=7$. Так как $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(1) = \log_7 1 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(7) = \log_7 7 = 1$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

4) Для функции $f(x) = \log_{\sqrt{5}} x$ на отрезке $[5; 25]$.

Основание логарифма $a=\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 1$, функция является монотонно возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(5) = \log_{\sqrt{5}} 5 = \log_{5^{1/2}} 5^1 = \frac{1}{1/2}\log_5 5 = 2 \cdot 1 = 2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(25) = \log_{\sqrt{5}} 25 = \log_{5^{1/2}} 5^2 = \frac{2}{1/2}\log_5 5 = 4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение 4.