Страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7. Вычислите значение выражения $27^{\log_3 2} + 28$:

A 12;

B 18;

C 36;

D 3.

Для того чтобы вычислить значение выражения $27^{\log_3 2} + 28$, необходимо последовательно упростить его компоненты.

1. Упрощение первого слагаемого $27^{\log_3 2}$

Сначала представим основание степени, число 27, в виде степени с основанием 3, так как основание логарифма в показателе также равно 3. Известно, что $27 = 3^3$.

Подставим это значение в выражение:

$27^{\log_3 2} = (3^3)^{\log_3 2}$

Далее воспользуемся свойством степени «степень в степени», которое гласит $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его:

$(3^3)^{\log_3 2} = 3^{3 \cdot \log_3 2}$

Теперь применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ к показателю степени:

$3 \cdot \log_3 2 = \log_3 (2^3)$

Поскольку $2^3 = 8$, показатель степени равен $\log_3 8$.

Выражение принимает вид:

$3^{\log_3 8}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$3^{\log_3 8} = 8$

2. Вычисление итогового значения

Теперь, когда мы нашли значение первого слагаемого, мы можем подставить его обратно в исходное выражение:

$27^{\log_3 2} + 28 = 8 + 28$

Выполним сложение:

$8 + 28 = 36$

Таким образом, значение всего выражения равно 36. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту C.

Ответ: 36.

8. Найдите область определения функции $y = \lg \frac{x+4}{2x-1}$:

A) $(-\infty; -4] \cup (0.5; +\infty)$;

B) $(-4; 0.5)$;

C) $(-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$;

D) $[-4; 0.5]$.

Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Для функции $y = \lg \frac{x+4}{2x-1}$ это условие записывается в виде неравенства:

$\frac{x+4}{2x-1} > 0$

Решим данное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль.

1. Найдем нуль числителя: $x + 4 = 0 \implies x = -4$.

2. Найдем нуль знаменателя (точка разрыва функции): $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.

Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), обе точки ($x=-4$ и $x=0.5$) будут выколотыми, то есть не будут входить в итоговый интервал. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0.5)$ и $(0.5; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x+4}{2x-1}$ на каждом из этих интервалов, подставив в него любое значение из соответствующего интервала.

- В интервале $(0.5; +\infty)$ возьмем $x = 1$: $\frac{1+4}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{5}{1} = 5$. Так как $5 > 0$, на этом интервале выражение имеет знак "+".

- В интервале $(-4; 0.5)$ возьмем $x = 0$: $\frac{0+4}{2 \cdot 0 - 1} = \frac{4}{-1} = -4$. Так как $-4 < 0$, на этом интервале выражение имеет знак "-".

- В интервале $(-\infty; -4)$ возьмем $x = -5$: $\frac{-5+4}{2 \cdot (-5) - 1} = \frac{-1}{-11} = \frac{1}{11}$. Так как $\frac{1}{11} > 0$, на этом интервале выражение имеет знак "+".

Так как мы решаем неравенство со знаком ">", нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Это интервалы $(-\infty; -4)$ и $(0.5; +\infty)$.

Областью определения функции является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$. Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: C) $(-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$

9. Вычислите значение производной функции $y = \log_3(\sin 3x)$ в точке

$x = \frac{\pi}{18}$

A) $\frac{3}{\ln 3}$;

B) $\frac{\sqrt{3}}{\ln 3}$;

C) $\frac{1}{\sqrt{3}\ln 3}$;

D) $\frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$.

Чтобы найти значение производной функции $y = \log_3(\sin(3x))$ в точке $x = \frac{\pi}{18}$, необходимо сначала найти общую формулу производной $y'(x)$.

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной мы будем использовать цепное правило (правило дифференцирования сложной функции). Функция может быть представлена как композиция трех функций:

1. Внешняя функция: $f(u) = \log_3(u)$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{u \ln 3}$.

2. Промежуточная функция: $u(v) = \sin(v)$, ее производная $u'(v) = \cos(v)$.

3. Внутренняя функция: $v(x) = 3x$, ее производная $v'(x) = 3$.

По цепному правилу, производная $y'(x)$ равна произведению производных этих функций:

$y'(x) = f'(u(v(x))) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)$

Подставляем наши функции и их производные:

$y'(x) = \frac{1}{\sin(3x) \cdot \ln 3} \cdot \cos(3x) \cdot 3$

Упростим полученное выражение:

$y'(x) = \frac{3\cos(3x)}{\sin(3x) \ln 3}$

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для котангенса $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, чтобы еще больше упростить выражение:

$y'(x) = \frac{3 \cot(3x)}{\ln 3}$

Теперь необходимо вычислить значение этой производной в указанной точке $x = \frac{\pi}{18}$. Подставим это значение в формулу производной:

$y'(\frac{\pi}{18}) = \frac{3 \cot(3 \cdot \frac{\pi}{18})}{\ln 3}$

Вычислим аргумент котангенса:

$3 \cdot \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{6}$

Теперь выражение для производной выглядит так:

$y'(\frac{\pi}{18}) = \frac{3 \cot(\frac{\pi}{6})}{\ln 3}$

Значение котангенса угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует 30°) является табличным значением:

$\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

Подставляем это значение обратно в наше выражение:

$y'(\frac{\pi}{18}) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\ln 3} = \frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$

10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 6xe^x$ на отрезке [1; 2]:

A) 6; 12;

B) $6e^2; 12e;$

C) $6e; 12e;$

D) $12e^2; 6e.$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 6xe^x$ на отрезке $[1; 2]$, необходимо выполнить следующий алгоритм.

1. Найти производную функции.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = 6x$ и $v(x) = e^x$. Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = (6x)'e^x + 6x(e^x)' = 6e^x + 6xe^x$.

Вынесем общий множитель $6e^x$ за скобки:

$y' = 6e^x(1 + x)$.

2. Найти критические точки функции.

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = 6e^x(1 + x)$ существует при любых значениях $x$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$6e^x(1 + x) = 0$.

Поскольку множитель $6e^x$ всегда строго положителен ($e^x > 0$ для любого $x$), равенство выполняется только тогда, когда второй множитель равен нулю:

$1 + x = 0$

$x = -1$.

3. Проверить принадлежность критических точек заданному отрезку.

Найденная критическая точка $x = -1$ не принадлежит отрезку $[1; 2]$.

Это означает, что на отрезке $[1; 2]$ функция является монотонной. Знак производной $y' = 6e^x(1 + x)$ на этом отрезке постоянен. Поскольку для любого $x \in [1; 2]$ оба множителя $6e^x$ и $(1+x)$ положительны, производная $y'$ на этом отрезке также положительна. Следовательно, функция $y(x)$ строго возрастает на отрезке $[1; 2]$.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка.

Так как функция возрастает на отрезке $[1; 2]$, свое наименьшее значение она принимает в левой граничной точке ($x=1$), а наибольшее — в правой ($x=2$).

Вычислим эти значения:

Значение функции в точке $x=1$:

$y(1) = 6 \cdot 1 \cdot e^1 = 6e$.

Значение функции в точке $x=2$:

$y(2) = 6 \cdot 2 \cdot e^2 = 12e^2$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ равно $6e$, а наибольшее значение равно $12e^2$.

Ответ: Наибольшее значение $12e^2$, наименьшее значение $6e$.

11. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = xe^{4x}$ в точке с абсциссой $x = 1$:

A) $5e^4x - 5e^4$;
B) $5e^4x$;
C) $5e^4x - 4e^4$;
D) $4e^4x - 5e^4$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашей задаче функция $f(x) = xe^{4x}$, а абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = 1$.

Подставим $x_0 = 1$ в уравнение функции, чтобы найти ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$f(1) = 1 \cdot e^{4 \cdot 1} = e^4$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1; e^4)$.

2. Найдем производную функции $f'(x)$.

Для дифференцирования функции $f(x) = xe^{4x}$ воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x$ и $v = e^{4x}$.

Производная $u' = (x)' = 1$.

Производную $v' = (e^{4x})'$ найдем как производную сложной функции: $v' = e^{4x} \cdot (4x)' = 4e^{4x}$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$f'(x) = (x)' \cdot e^{4x} + x \cdot (e^{4x})' = 1 \cdot e^{4x} + x \cdot 4e^{4x} = e^{4x}(1 + 4x)$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 1$.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания $k = f'(x_0)$.

$f'(1) = e^{4 \cdot 1}(1 + 4 \cdot 1) = e^4(1 + 4) = 5e^4$.

4. Составим уравнение касательной.

Подставим найденные значения $x_0 = 1$, $f(x_0) = e^4$ и $f'(x_0) = 5e^4$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = e^4 + 5e^4(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = e^4 + 5e^4x - 5e^4$

$y = 5e^4x - 4e^4$

Это уравнение соответствует варианту C.

Ответ: C) $5e^4x - 4e^4$

12. Вычислите интеграл $\int_{1}^{3}\left(\frac{2}{x}-4^x\right)dx$:

A) $2\ln3 - \frac{68}{\ln4}$;

B) $2\ln3 + \frac{64}{\ln4}$;

C) $2\ln3 - \frac{60}{\ln4}$;

D) $\ln3 - \frac{64}{\ln4}$.

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся свойством аддитивности интеграла и формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Исходный интеграл можно представить в виде разности двух интегралов:

$ \int_{1}^{3} \left(\frac{2}{x} - 4^x\right) dx = \int_{1}^{3} \frac{2}{x} dx - \int_{1}^{3} 4^x dx $

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

1. Первый интеграл:Для функции $ \frac{2}{x} $ первообразной является $ 2\ln|x| $. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{3} \frac{2}{x} dx = [2\ln|x|]_{1}^{3} = 2\ln|3| - 2\ln|1| $

Так как $ \ln(1) = 0 $, получаем:

$ 2\ln(3) - 2 \cdot 0 = 2\ln3 $

2. Второй интеграл:Для показательной функции $ 4^x $ первообразной является $ \frac{4^x}{\ln4} $. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{3} 4^x dx = \left[\frac{4^x}{\ln4}\right]_{1}^{3} = \frac{4^3}{\ln4} - \frac{4^1}{\ln4} $

Выполняем вычисления:

$ \frac{64}{\ln4} - \frac{4}{\ln4} = \frac{64 - 4}{\ln4} = \frac{60}{\ln4} $

3. Теперь объединим результаты, вычитая значение второго интеграла из значения первого:

$ \int_{1}^{3} \left(\frac{2}{x} - 4^x\right) dx = 2\ln3 - \frac{60}{\ln4} $

Полученное выражение соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) $ 2\ln3 - \frac{60}{\ln4} $

13. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = 2^x$, $y = 1$, $x = 2$:

A $2\ln2 - 2$; B) $\frac{3}{\ln2} - 2$; C) $4\ln2 - 2$; D) $\ln2 - 2$.

Площадь фигуры, ограниченной линиями, вычисляется с помощью определенного интеграла. Формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу графиком функции $g(x)$, и прямыми $x = a$ и $x = b$, имеет вид:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$

В данном случае фигура ограничена следующими линиями:

1. Верхняя граница: $f(x) = 2^x$ (показательная функция, возрастающая).

2. Нижняя граница: $g(x) = 1$ (горизонтальная прямая).

3. Правая граница: $x = 2$ (вертикальная прямая). Это будет верхний предел интегрирования, $b = 2$.

Чтобы найти левую границу (нижний предел интегрирования $a$), нужно найти точку пересечения графиков $y = 2^x$ и $y = 1$.

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Таким образом, нижний предел интегрирования $a = 0$.

Теперь подставим все значения в формулу для площади:

$S = \int_{0}^{2} (2^x - 1) dx$

Вычислим интеграл. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $(2^x - 1)$:

$\int (2^x - 1) dx = \int 2^x dx - \int 1 dx = \frac{2^x}{\ln 2} - x$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$S = \left. \left( \frac{2^x}{\ln 2} - x \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{\ln 2} - 2 \right) - \left( \frac{2^0}{\ln 2} - 0 \right)$

Подставим значения и упростим выражение:

$S = \left( \frac{4}{\ln 2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{\ln 2} \right) = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} - 2 = \frac{4-1}{\ln 2} - 2 = \frac{3}{\ln 2} - 2$

Полученный результат соответствует варианту B).

Ответ: B) $\frac{3}{\ln 2} - 2$