Номер 8, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8. Найдите область определения функции $y = \lg \frac{x+4}{2x-1}$:

A) $(-\infty; -4] \cup (0.5; +\infty)$;

B) $(-4; 0.5)$;

C) $(-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$;

D) $[-4; 0.5]$.

Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Для функции $y = \lg \frac{x+4}{2x-1}$ это условие записывается в виде неравенства:

$\frac{x+4}{2x-1} > 0$

Решим данное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль.

1. Найдем нуль числителя: $x + 4 = 0 \implies x = -4$.

2. Найдем нуль знаменателя (точка разрыва функции): $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.

Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), обе точки ($x=-4$ и $x=0.5$) будут выколотыми, то есть не будут входить в итоговый интервал. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0.5)$ и $(0.5; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x+4}{2x-1}$ на каждом из этих интервалов, подставив в него любое значение из соответствующего интервала.

- В интервале $(0.5; +\infty)$ возьмем $x = 1$: $\frac{1+4}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{5}{1} = 5$. Так как $5 > 0$, на этом интервале выражение имеет знак "+".

- В интервале $(-4; 0.5)$ возьмем $x = 0$: $\frac{0+4}{2 \cdot 0 - 1} = \frac{4}{-1} = -4$. Так как $-4 < 0$, на этом интервале выражение имеет знак "-".

- В интервале $(-\infty; -4)$ возьмем $x = -5$: $\frac{-5+4}{2 \cdot (-5) - 1} = \frac{-1}{-11} = \frac{1}{11}$. Так как $\frac{1}{11} > 0$, на этом интервале выражение имеет знак "+".

Так как мы решаем неравенство со знаком ">", нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Это интервалы $(-\infty; -4)$ и $(0.5; +\infty)$.

Областью определения функции является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$. Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: C) $(-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$