Номер 9, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Вычислите значение производной функции $y = \log_3(\sin 3x)$ в точке

$x = \frac{\pi}{18}$

A) $\frac{3}{\ln 3}$;

B) $\frac{\sqrt{3}}{\ln 3}$;

C) $\frac{1}{\sqrt{3}\ln 3}$;

D) $\frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$.

Чтобы найти значение производной функции $y = \log_3(\sin(3x))$ в точке $x = \frac{\pi}{18}$, необходимо сначала найти общую формулу производной $y'(x)$.

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной мы будем использовать цепное правило (правило дифференцирования сложной функции). Функция может быть представлена как композиция трех функций:

1. Внешняя функция: $f(u) = \log_3(u)$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{u \ln 3}$.

2. Промежуточная функция: $u(v) = \sin(v)$, ее производная $u'(v) = \cos(v)$.

3. Внутренняя функция: $v(x) = 3x$, ее производная $v'(x) = 3$.

По цепному правилу, производная $y'(x)$ равна произведению производных этих функций:

$y'(x) = f'(u(v(x))) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)$

Подставляем наши функции и их производные:

$y'(x) = \frac{1}{\sin(3x) \cdot \ln 3} \cdot \cos(3x) \cdot 3$

Упростим полученное выражение:

$y'(x) = \frac{3\cos(3x)}{\sin(3x) \ln 3}$

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для котангенса $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, чтобы еще больше упростить выражение:

$y'(x) = \frac{3 \cot(3x)}{\ln 3}$

Теперь необходимо вычислить значение этой производной в указанной точке $x = \frac{\pi}{18}$. Подставим это значение в формулу производной:

$y'(\frac{\pi}{18}) = \frac{3 \cot(3 \cdot \frac{\pi}{18})}{\ln 3}$

Вычислим аргумент котангенса:

$3 \cdot \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{6}$

Теперь выражение для производной выглядит так:

$y'(\frac{\pi}{18}) = \frac{3 \cot(\frac{\pi}{6})}{\ln 3}$

Значение котангенса угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует 30°) является табличным значением:

$\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

Подставляем это значение обратно в наше выражение:

$y'(\frac{\pi}{18}) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\ln 3} = \frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$