Номер 5, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5. Если $\log_7 5 = a$ и $\log_7 13 = b$, то найдите значения выражения $\log_{65} 25$:

A) $\frac{2b}{a+b}$;

B) $\frac{a+b}{2b}$;

C) $\frac{2b}{a+b}$;

D) $\frac{a+b}{b}$.

Для решения данной задачи необходимо выразить $log_{65}{25}$ через заданные переменные $a = log_7{5}$ и $b = log_7{13}$.

Первый шаг — использовать формулу перехода к новому основанию логарифма: $log_x{y} = \frac{log_c{y}}{log_c{x}}$. Поскольку нам даны логарифмы по основанию 7, выберем 7 в качестве нового основания.

$log_{65}{25} = \frac{log_7{25}}{log_7{65}}$

Далее преобразуем числитель и знаменатель полученной дроби, используя свойства логарифмов.

Преобразование числителя:

Используем свойство логарифма степени $log_x{y^k} = k \cdot log_x{y}$.

$log_7{25} = log_7{5^2} = 2 \cdot log_7{5}$

Согласно условию, $log_7{5} = a$. Таким образом, числитель равен $2a$.

Преобразование знаменателя:

Используем свойство логарифма произведения $log_x{(y \cdot z)} = log_x{y} + log_x{z}$.

$log_7{65} = log_7{(5 \cdot 13)} = log_7{5} + log_7{13}$

Согласно условию, $log_7{5} = a$ и $log_7{13} = b$. Таким образом, знаменатель равен $a + b$.

Получение и анализ результата:

Подставим найденные выражения для числителя и знаменателя обратно в формулу:

$log_{65}{25} = \frac{2a}{a + b}$

Полученный результат $\frac{2a}{a + b}$ отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Это свидетельствует о наличии опечатки в условии задачи или в вариантах ответов. Наиболее вероятной является опечатка в условии, где значения переменных $a$ и $b$ перепутаны.

Рассмотрим вариант с исправленным условием: $log_7{5} = b$ и $log_7{13} = a$.

В этом случае преобразования будут следующими:

Числитель: $log_7{25} = 2 \cdot log_7{5} = 2b$.

Знаменатель: $log_7{65} = log_7{5} + log_7{13} = b + a = a + b$.

Тогда искомое выражение равно:

$log_{65}{25} = \frac{2b}{a + b}$

Этот результат соответствует вариантам ответа A и C.

Ответ: $\frac{2b}{a + b}$