Номер 15.13, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.13. Найдите первообразную для функции $y = g(x)$, график которой

проходит через точку $B (a, b)$:

1) $g(x) = 4^x$, $B (\log_2 3; 0)$;

2) $g(x) = \frac{2}{x-3}$, $B (4; -2)$.

15.14. Разложите числа:

1) Для функции $g(x) = 4^x$ общим видом первообразной $G(x)$ является функция, получаемая интегрированием $g(x)$. Используя табличное значение интеграла для показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, получаем:

$G(x) = \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $B(\log_2 3; 0)$. Это означает, что при $x = \log_2 3$ значение функции $G(x)$ равно $0$, то есть $G(\log_2 3) = 0$. Подставим эти значения в уравнение для $G(x)$:

$G(\log_2 3) = \frac{4^{\log_2 3}}{\ln 4} + C = 0$.

Для нахождения $C$ необходимо вычислить значение $4^{\log_2 3}$. Преобразуем это выражение, используя свойства степеней и логарифмов:

$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 (3^2)} = 2^{\log_2 9}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$2^{\log_2 9} = 9$.

Теперь подставим найденное значение в уравнение для $C$:

$\frac{9}{\ln 4} + C = 0$.

Отсюда $C = -\frac{9}{\ln 4}$.

Подставляем значение $C$ в общий вид первообразной:

$G(x) = \frac{4^x}{\ln 4} - \frac{9}{\ln 4} = \frac{4^x - 9}{\ln 4}$.

Ответ: $G(x) = \frac{4^x - 9}{\ln 4}$.

2) Для функции $g(x) = \frac{2}{x-3}$ найдем общий вид первообразной $G(x)$ путем интегрирования. Используя табличный интеграл $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$, получаем:

$G(x) = \int \frac{2}{x-3} dx = 2 \int \frac{1}{x-3} d(x-3) = 2 \ln|x-3| + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $B(4; -2)$. Это означает, что $G(4) = -2$. Подставим эти значения в уравнение для $G(x)$:

$G(4) = 2 \ln|4-3| + C = -2$.

Вычислим значение выражения:

$2 \ln|1| + C = -2$.

Так как $\ln 1 = 0$, получаем:

$2 \cdot 0 + C = -2$.

Отсюда $C = -2$.

Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:

$G(x) = 2 \ln|x-3| - 2$.

Ответ: $G(x) = 2 \ln|x-3| - 2$.