Номер 15.14, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Глава IV. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 15. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Первообразная показательной функции - номер 15.14, страница 97.

Условие.

15.14. Вычислите интеграл:

1) $\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx$;

2) $\int_{0}^{\log_{3} 2} 3^{0.5x} dx$.

Решение 2 (rus).

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = e^{2x}$. По общей формуле интегрирования экспоненциальной функции $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$, где $C$ - константа.

В данном случае коэффициент $k=2$, следовательно, первообразная $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$.

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования в первообразную:

Значение на верхнем пределе ($x = \ln 2$):

$F(\ln 2) = \frac{1}{2}e^{2 \ln 2} = \frac{1}{2}e^{\ln 2^2} = \frac{1}{2}e^{\ln 4} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Значение на нижнем пределе ($x = 0$):

$F(0) = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Теперь вычислим разность этих значений, чтобы найти значение интеграла:

$\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx = F(\ln 2) - F(0) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $1.5$.

2) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\log_3 2} 3^{0.5x} dx$ также применим формулу Ньютона-Лейбница.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 3^{0.5x}$. По общей формуле интегрирования показательной функции $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$, где $C$ - константа.

В данном случае основание $a=3$ и коэффициент $k=0.5$. Первообразная будет иметь вид:

$F(x) = \frac{3^{0.5x}}{0.5 \ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3}$.

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Значение на верхнем пределе ($x = \log_3 2$):

$F(\log_3 2) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \log_3 2}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{\log_3 2^{0.5}}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{\log_3 \sqrt{2}}}{\ln 3}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем: $F(\log_3 2) = \frac{2 \sqrt{2}}{\ln 3}$.

Значение на нижнем пределе ($x = 0$):

$F(0) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3}$.

Вычислим разность этих значений:

$\int_{0}^{\log_3 2} 3^{0.5x} dx = F(\log_3 2) - F(0) = \frac{2 \sqrt{2}}{\ln 3} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{\ln 3}$.

Ответ: $\frac{2(\sqrt{2} - 1)}{\ln 3}$.