Номер 6, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. На каком из рисунков изображен график функции $y = -2^x + 1$?

A)

B)

C)

D)

Чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = -2^x + 1$, проанализируем свойства этой функции, рассматривая её как результат преобразований базовой показательной функции $y = 2^x$.

1. Базовая функция $y = 2^x$:

Это стандартная показательная функция с основанием больше 1. Её график всегда возрастает, проходит через точку $(0, 1)$ (поскольку $2^0 = 1$) и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс), к которой стремится при $x \to -\infty$.

2. Преобразование 1: Отражение относительно оси X ($y = -2^x$):

Знак "минус" перед $2^x$ означает симметричное отражение графика $y = 2^x$ относительно оси абсцисс (оси X).

• График становится убывающим.

• Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -1)$.

• Горизонтальная асимптота $y=0$ сохраняется.

3. Преобразование 2: Сдвиг по оси Y ($y = -2^x + 1$):

Прибавление 1 означает сдвиг графика функции $y = -2^x$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Y).

• Функция остается убывающей.

• Точка пересечения с осью Y смещается из $(0, -1)$ в точку $(0, -1+1) = (0, 0)$. Таким образом, график проходит через начало координат.

• Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=1$.

Сводка свойств для графика функции $y = -2^x + 1$:

• Функция убывающая.

• График проходит через начало координат $(0, 0)$.

• Горизонтальная асимптота — прямая $y=1$.

Сравним эти свойства с предложенными рисунками:

• Рисунок A: Функция возрастает. Не подходит.

• Рисунок B: Функция убывает и проходит через начало координат, но её горизонтальная асимптота — $y=-1$. Не подходит.

• Рисунок C: Функция убывает, проходит через начало координат $(0, 0)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$. Все свойства совпадают.

• Рисунок D: Функция убывает, но не проходит через начало координат, и её асимптота — $y=-1$. Не подходит.

Таким образом, единственным графиком, который удовлетворяет всем свойствам функции $y = -2^x + 1$, является график на рисунке C.

Ответ: C