Страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Найдите область определения функции $y = \frac{x - 3}{125 - 5^{3x}}$:

A) $R$;

B) $Z$;

C) $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$;

D) $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

1. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{x-3}{125-5^{3x}}$ представляет собой дробь. Дробь определена только в том случае, если её знаменатель не равен нулю. Поэтому, чтобы найти область определения, необходимо найти значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из множества всех действительных чисел.

Приравняем знаменатель к нулю:

$125 - 5^{3x} = 0$

Решим полученное показательное уравнение. Перенесем $5^{3x}$ в правую часть:

$125 = 5^{3x}$

Чтобы решить это уравнение, представим число $125$ как степень с основанием $5$. Поскольку $5 \cdot 5 = 25$ и $25 \cdot 5 = 125$, то $125 = 5^3$.

Теперь уравнение можно записать в виде:

$5^3 = 5^{3x}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3 = 3x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{3}{3} = 1$

Таким образом, при $x = 1$ знаменатель функции равен нулю, что недопустимо. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x = 1$. В виде интервальной записи это выглядит так: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, заключаем, что верным является вариант C).

Ответ: C) $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Вычислите $log_{12}\\left(\\frac{49}{9} \\cdot \\left(\\frac{3}{7}\\right)^2\\right)$:

A) 12;

C) 1;

B) 0;

D) 144.

2. Чтобы вычислить значение данного логарифмического выражения, необходимо сначала упростить выражение, стоящее под знаком логарифма.

Исходное выражение: $\log_{12}\left(\frac{49}{9} \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^2\right)$.

1. Упростим аргумент логарифма. Для этого сначала возведем дробь $\frac{3}{7}$ в квадрат:

$\left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$.

2. Теперь подставим полученный результат обратно в выражение в скобках и выполним умножение:

$\frac{49}{9} \cdot \frac{9}{49} = 1$.

3. В результате исходное выражение принимает вид:

$\log_{12}(1)$.

4. По определению логарифма, логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0=1$ для $a \neq 0$).

Следовательно:

$\log_{12}(1) = 0$.

Ответ: 0.

3. Найдите область определения функции $y = \log_{5.3}(6 - 5x) + 10:$

A) $(-\infty; 1.2];$

B) $(-\infty; -1.2);$

C) $(1.2; +\infty);$

D) $(-\infty; 1.2).$

Для нахождения области определения функции $y = \log_{5.3}(6 - 5x) + 10$ необходимо учесть свойство логарифмической функции. Область определения логарифма $\log_a(b)$ определяется двумя условиями: основание $a$ должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$), а выражение под знаком логарифма (аргумент) $b$ должно быть строго больше нуля ($b > 0$).

В данной функции основание логарифма равно 5.3, что удовлетворяет условиям ($5.3 > 0$ и $5.3 \neq 1$). Слагаемое $+10$ не влияет на область определения функции.

Следовательно, единственное ограничение накладывается на аргумент логарифма $(6 - 5x)$. Он должен быть строго положительным: $6 - 5x > 0$

Решим это линейное неравенство. Перенесем 6 в правую часть неравенства, поменяв знак: $-5x > -6$

Разделим обе части неравенства на $-5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x < \frac{-6}{-5}$

Упростим полученное выражение: $x < \frac{6}{5}$

Преобразуем дробь в десятичную для удобства сравнения с вариантами ответа: $x < 1.2$

Это означает, что функция определена для всех значений $x$, которые меньше 1.2. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1.2)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: D) $(-\infty; 1,2)$.

4. Расположите числа $\frac{1}{3}$; 27; $3^{-3}$; 1; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$ в порядке возрастания:

A) $\frac{1}{3}$; 27; $3^{-3}$; 1; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$;

B) $\frac{1}{3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $3^{-3}$; 1; 27;

C) $3^{-3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $\frac{1}{3}$; 1; 27;

D) 1; $3^{-3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $\frac{1}{3}$; 27.

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого из них или привести их к общему основанию для сравнения.

Даны числа: $\frac{1}{3}$; $27$; $3^{-3}$; $1$; $(\frac{1}{3})^2$.

1. Вычислим значение каждого выражения:

• $\frac{1}{3}$ — это дробь, ее значение примерно равно $0,333...$
• $27$ — целое число.
• $3^{-3}$ — степень с отрицательным показателем. По свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$. Значение этой дроби примерно равно $0,037...$
• $1$ — целое число.
• $(\frac{1}{3})^2$ — возведение дроби в степень. По свойству $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, имеем: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$. Значение этой дроби примерно равно $0,111...$

Теперь у нас есть следующий набор чисел: $\frac{1}{3}$, $27$, $\frac{1}{27}$, $1$, $\frac{1}{9}$.

2. Сравним полученные значения:

Мы получили числа: $0,333...$; $27$; $0,037...$; $1$; $0,111...$

Расположим их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):

$0,037... < 0,111... < 0,333... < 1 < 27$

3. Запишем ряд в исходных обозначениях:

Сопоставим отсортированные значения с их первоначальным видом:

• $0,037...$ это $\frac{1}{27}$, что равно $3^{-3}$.
• $0,111...$ это $\frac{1}{9}$, что равно $(\frac{1}{3})^2$.
• $0,333...$ это $\frac{1}{3}$.
• $1$ это $1$.
• $27$ это $27$.

Таким образом, искомый порядок чисел: $3^{-3}$; $(\frac{1}{3})^2$; $\frac{1}{3}$; $1$; $27$.

Этот порядок соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $3^{-3}$; $(\frac{1}{3})^2$; $\frac{1}{3}$; $1$; $27$.

5. Если $\log_7 5 = a$ и $\log_7 13 = b$, то найдите значения выражения $\log_{65} 25$:

A) $\frac{2b}{a+b}$;

B) $\frac{a+b}{2b}$;

C) $\frac{2b}{a+b}$;

D) $\frac{a+b}{b}$.

Для решения данной задачи необходимо выразить $log_{65}{25}$ через заданные переменные $a = log_7{5}$ и $b = log_7{13}$.

Первый шаг — использовать формулу перехода к новому основанию логарифма: $log_x{y} = \frac{log_c{y}}{log_c{x}}$. Поскольку нам даны логарифмы по основанию 7, выберем 7 в качестве нового основания.

$log_{65}{25} = \frac{log_7{25}}{log_7{65}}$

Далее преобразуем числитель и знаменатель полученной дроби, используя свойства логарифмов.

Преобразование числителя:

Используем свойство логарифма степени $log_x{y^k} = k \cdot log_x{y}$.

$log_7{25} = log_7{5^2} = 2 \cdot log_7{5}$

Согласно условию, $log_7{5} = a$. Таким образом, числитель равен $2a$.

Преобразование знаменателя:

Используем свойство логарифма произведения $log_x{(y \cdot z)} = log_x{y} + log_x{z}$.

$log_7{65} = log_7{(5 \cdot 13)} = log_7{5} + log_7{13}$

Согласно условию, $log_7{5} = a$ и $log_7{13} = b$. Таким образом, знаменатель равен $a + b$.

Получение и анализ результата:

Подставим найденные выражения для числителя и знаменателя обратно в формулу:

$log_{65}{25} = \frac{2a}{a + b}$

Полученный результат $\frac{2a}{a + b}$ отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Это свидетельствует о наличии опечатки в условии задачи или в вариантах ответов. Наиболее вероятной является опечатка в условии, где значения переменных $a$ и $b$ перепутаны.

Рассмотрим вариант с исправленным условием: $log_7{5} = b$ и $log_7{13} = a$.

В этом случае преобразования будут следующими:

Числитель: $log_7{25} = 2 \cdot log_7{5} = 2b$.

Знаменатель: $log_7{65} = log_7{5} + log_7{13} = b + a = a + b$.

Тогда искомое выражение равно:

$log_{65}{25} = \frac{2b}{a + b}$

Этот результат соответствует вариантам ответа A и C.

Ответ: $\frac{2b}{a + b}$

6. На каком из рисунков изображен график функции $y = -2^x + 1$?

A)

B)

C)

D)

Чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = -2^x + 1$, проанализируем свойства этой функции, рассматривая её как результат преобразований базовой показательной функции $y = 2^x$.

1. Базовая функция $y = 2^x$:

Это стандартная показательная функция с основанием больше 1. Её график всегда возрастает, проходит через точку $(0, 1)$ (поскольку $2^0 = 1$) и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс), к которой стремится при $x \to -\infty$.

2. Преобразование 1: Отражение относительно оси X ($y = -2^x$):

Знак "минус" перед $2^x$ означает симметричное отражение графика $y = 2^x$ относительно оси абсцисс (оси X).

• График становится убывающим.

• Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -1)$.

• Горизонтальная асимптота $y=0$ сохраняется.

3. Преобразование 2: Сдвиг по оси Y ($y = -2^x + 1$):

Прибавление 1 означает сдвиг графика функции $y = -2^x$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Y).

• Функция остается убывающей.

• Точка пересечения с осью Y смещается из $(0, -1)$ в точку $(0, -1+1) = (0, 0)$. Таким образом, график проходит через начало координат.

• Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=1$.

Сводка свойств для графика функции $y = -2^x + 1$:

• Функция убывающая.

• График проходит через начало координат $(0, 0)$.

• Горизонтальная асимптота — прямая $y=1$.

Сравним эти свойства с предложенными рисунками:

• Рисунок A: Функция возрастает. Не подходит.

• Рисунок B: Функция убывает и проходит через начало координат, но её горизонтальная асимптота — $y=-1$. Не подходит.

• Рисунок C: Функция убывает, проходит через начало координат $(0, 0)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$. Все свойства совпадают.

• Рисунок D: Функция убывает, но не проходит через начало координат, и её асимптота — $y=-1$. Не подходит.

Таким образом, единственным графиком, который удовлетворяет всем свойствам функции $y = -2^x + 1$, является график на рисунке C.

Ответ: C