gdz.top
Номер 15.6, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова
Авторы: Абылкасымова А. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава IV. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 15. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Первообразная показательной функции - номер 15.6, страница 97.
№15.5
№15.6 (с. 97)
Условие. №15.6 (с. 97)
15.6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) $y = \frac{4}{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;
2) $y = 5^x$, $x = 3$, $x = 0$, $y = 0$.
Решение 2 (rus). №15.6 (с. 97)
1) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{4}{x}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$ (осью Ox), является площадью криволинейной трапеции. Так как на отрезке $[1, 4]$ функция $y = \frac{4}{x}$ неотрицательна, площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
Подставим наши данные: $f(x) = \frac{4}{x}$, $a=1$, $b=4$.
$S = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} dx$
Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = 4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} dx = 4 [\ln|x|]_{1}^{4} = 4 (\ln|4| - \ln|1|)$
Так как $\ln(1) = 0$, получаем:
$S = 4 (\ln(4) - 0) = 4 \ln(4)$.
Ответ: $4 \ln(4)$.
2) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 5^x$, $x = 3$, $x = 0$ и $y = 0$ (осью Ox), также вычисляется как площадь криволинейной трапеции. Функция $y = 5^x$ положительна на отрезке $[0, 3]$.
Подставим данные в формулу $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$: $f(x) = 5^x$, $a=0$, $b=3$.
$S = \int_{0}^{3} 5^x dx$
Первообразная для показательной функции $f(x)=a^x$ равна $F(x)=\frac{a^x}{\ln a}$. Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_{0}^{3} = \frac{5^3}{\ln 5} - \frac{5^0}{\ln 5}$
Так как $5^3 = 125$ и $5^0 = 1$, получаем:
$S = \frac{125}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 5} = \frac{125 - 1}{\ln 5} = \frac{124}{\ln 5}$.
Ответ: $\frac{124}{\ln 5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.6 расположенного на странице 97 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.6 (с. 97), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.