Вопросы, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Почему формула производной показательной функции $y = a^x$ имеет частный случай? Ответ обоснуйте.

2. Какое свойство логарифма используется при выведении формулы производной логарифмической функции?

1. Почему формула производной показательной функции y = a^x имеет частный случай? Ответ обоснуйте.

Общая формула для производной показательной функции $y = a^x$ (при условии, что $a > 0$ и $a \neq 1$) имеет вид: $(a^x)' = a^x \ln a$.

Эта формула имеет важный частный случай, когда основание $a$ равно числу Эйлера $e$, которое является иррациональной константой, приблизительно равной $2.71828$. В этом случае показательная функция записывается как $y = e^x$.

Применим общую формулу производной для этого случая, подставив $a = e$:

$(e^x)' = e^x \ln e$.

Ключевым моментом здесь является значение натурального логарифма $\ln e$. По определению, натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$. Таким образом, $\ln e$ — это степень, в которую нужно возвести $e$, чтобы получить $e$. Очевидно, эта степень равна 1, то есть $\ln e = 1$.

В результате этого формула производной значительно упрощается:

$(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$.

Таким образом, частный случай возникает при $a = e$, потому что производная функции $y = e^x$ равна самой функции. Это уникальное свойство, которое выполняется только тогда, когда множитель $\ln a$ в общей формуле равен единице, что справедливо исключительно для $a=e$.

Ответ: Частный случай формулы производной показательной функции возникает при основании $a=e$ (число Эйлера). В этом случае, поскольку натуральный логарифм числа $e$ равен единице ($\ln e = 1$), общая формула $(a^x)' = a^x \ln a$ упрощается до вида $(e^x)' = e^x$.

2. Какое свойство логарифма используется при выведении формулы производной логарифмической функции?

При выведении формулы производной для логарифмической функции $y = \log_a x$ на основе определения производной через предел, $y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a(x + \Delta x) - \log_a(x)}{\Delta x}$, на первом же шаге используется ключевое свойство логарифмов.

Это свойство разности логарифмов, которое также называют свойством логарифма частного. Оно гласит:

$\log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N}$.

Применение этого свойства к числителю в определении производной позволяет преобразовать разность двух логарифмов в один логарифм:

$\log_a(x + \Delta x) - \log_a(x) = \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) = \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)$.

Это преобразование является основополагающим, так как оно позволяет свести выражение под знаком предела к конструкции, которая приводит ко второму замечательному пределу. Хотя в дальнейших шагах вывода используются и другие свойства (например, свойство логарифма степени), именно свойство разности логарифмов является отправной точкой всего вывода.

Ответ: При выведении формулы производной логарифмической функции используется свойство разности логарифмов (или логарифма частного): $\log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N}$.