Номер 15.2, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.2. 1) $f(x) = e^x \cdot \sin x;$

2) $f(x) = e^{2x} + 2 \cdot 2x;$

3) $f(x) = x^2 e^{3x};$

4) $f(x) = 5 \cdot e^x \cdot \cos x;$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = e^x \cdot \sin x$, мы используем правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.

Находим производные этих функций: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь подставляем эти значения в формулу производной произведения:

$f'(x) = (e^x)' \cdot \sin x + e^x \cdot (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x$.

Можно вынести общий множитель $e^x$ за скобки: $f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$.

Ответ: $f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$.

2) Чтобы найти производную функции $f(x) = e^{2x} + 2 \cdot 2^x$, мы используем правило дифференцирования суммы: $(g+h)' = g' + h'$.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Для первого слагаемого $g(x) = e^{2x}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(e^u)' = e^u$ и производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$g'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

Для второго слагаемого $h(x) = 2 \cdot 2^x$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$.

$h'(x) = (2 \cdot 2^x)' = 2 \cdot (2^x)' = 2 \cdot 2^x \ln 2$.

Складываем производные: $f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2e^{2x} + 2 \cdot 2^x \ln 2$.

Ответ: $f'(x) = 2e^{2x} + 2 \cdot 2^x \ln 2$.

3) Чтобы найти производную функции $f(x) = x^2 e^{3x}$, мы снова используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{3x}$.

Находим производные: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для $v(x) = e^{3x}$ используем цепное правило: $v'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{3x} + x^2 \cdot (e^{3x})' = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$.

Вынесем общий множитель $xe^{3x}$ за скобки: $f'(x) = xe^{3x}(2 + 3x)$.

Ответ: $f'(x) = xe^{3x}(2 + 3x)$.

4) Чтобы найти производную функции $f(x) = 5 \cdot e^x \cdot \cos x$, мы используем правило дифференцирования произведения и вынесение константы за знак производной: $(c \cdot uv)' = c \cdot (u'v + uv')$.

Пусть константа $c=5$, $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

Находим производные: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = 5 \cdot \left((e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)'\right) = 5 \cdot (e^x \cos x + e^x (-\sin x))$.

Упрощаем выражение: $f'(x) = 5(e^x \cos x - e^x \sin x)$.

Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки: $f'(x) = 5e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $f'(x) = 5e^x(\cos x - \sin x)$.