Номер 16.2, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.2. 1) $2^{x+3} = 64$;

2) $3^{\frac{x}{2}} = 27$;

3) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 216$;

4) $\sqrt[3]{7^x} = \sqrt[3]{343}$.

1) Дано показательное уравнение $2^{x+3} = 64$. Для его решения необходимо привести обе части к одному основанию. Основание в левой части равно 2. Представим число 64 как степень числа 2.

$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$2^{x+3} = 2^6$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x + 3 = 6$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 6 - 3$

$x = 3$.

Ответ: $x=3$.

2) Дано уравнение $3^{\frac{x}{2}} = 27$. Это показательное уравнение. Приведем обе части к основанию 3.

Число 27 можно представить как $3^3$.

Подставим это в уравнение:

$3^{\frac{x}{2}} = 3^3$.

Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$\frac{x}{2} = 3$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:

$x = 3 \cdot 2$

$x = 6$.

Ответ: $x=6$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 216$.

Используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, объединим множители в левой части под одним знаком корня:

$\sqrt{2^x \cdot 3^x} = 216$.

Далее, используя свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, упростим подкоренное выражение:

$\sqrt{(2 \cdot 3)^x} = 216$

$\sqrt{6^x} = 216$.

Представим корень как степень с рациональным показателем $\frac{1}{2}$:

$(6^x)^{\frac{1}{2}} = 216$.

По свойству степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$6^{\frac{x}{2}} = 216$.

Теперь приведем правую часть к основанию 6. Мы знаем, что $6^3 = 36 \cdot 6 = 216$.

Уравнение принимает вид:

$6^{\frac{x}{2}} = 6^3$.

Приравниваем показатели:

$\frac{x}{2} = 3$

$x = 6$.

Ответ: $x=6$.

4) Дано уравнение $\sqrt[4]{7^x} = \sqrt[4]{343}$.

Так как в обеих частях уравнения находятся корни одинаковой, четвертой, степени, мы можем приравнять выражения, стоящие под знаком корня:

$7^x = 343$.

Мы получили показательное уравнение. Чтобы его решить, представим число 343 в виде степени с основанием 7.

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$

$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$.

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$7^x = 7^3$.

Поскольку основания равны, показатели степеней также должны быть равны:

$x = 3$.

Ответ: $x=3$.