Страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Выразите равенства через логарифмы (13.1–13.3):

13.1. 1) $3^3 = 27;$

2) $2^5 = 32;$

3) $3^{-2} = \frac{1}{9};$

4) $2^{-3} = \frac{1}{8}.$

1) Чтобы выразить степенное равенство $3^3 = 27$ через логарифм, используется основное определение логарифма: если $a^x = b$, то это эквивалентно записи $\log_a b = x$ (где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$). В данном равенстве основание степени $a = 3$, показатель степени $x = 3$, и значение степени $b = 27$. Применяя определение логарифма, получаем равенство: $\log_3 27 = 3$.

Ответ: $\log_3 27 = 3$.

2) Для равенства $2^5 = 32$ поступаем аналогичным образом. Здесь основание $a = 2$, показатель степени $x = 5$, и значение $b = 32$. Согласно определению логарифма ($\log_a b = x$), данное равенство можно записать в логарифмической форме как $\log_2 32 = 5$.

Ответ: $\log_2 32 = 5$.

3) Рассмотрим равенство $3^{-2} = \frac{1}{9}$. В этом случае основание степени $a = 3$, показатель степени $x = -2$, а значение степени $b = \frac{1}{9}$. Преобразуем его в логарифмическую форму, используя то же определение $\log_a b = x$. Получаем: $\log_3 \left(\frac{1}{9}\right) = -2$.

Ответ: $\log_3 \left(\frac{1}{9}\right) = -2$.

4) Для равенства $2^{-3} = \frac{1}{8}$ основание степени $a = 2$, показатель степени $x = -3$, и значение $b = \frac{1}{8}$. Выражая данное равенство через логарифм, получаем: $\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -3$.

Ответ: $\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -3$.

13.2. 1) $4^3 = 64$;

2) $2^{-6} = \frac{1}{64}$;

3) $3^4 = 81$;

4) $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

1) Исходное равенство $4^3=64$ является показательным. Чтобы записать его в логарифмической форме, воспользуемся определением логарифма, согласно которому равенство $b^y=x$ эквивалентно равенству $\log_b(x)=y$. В нашем случае основание $b=4$, показатель степени $y=3$, а число $x=64$. Подставляя эти значения в определение, получаем искомую логарифмическую форму.

Ответ: $\log_4(64)=3$.

2) Показательное равенство $2^{-6}=\frac{1}{64}$ можно преобразовать в логарифмическое, используя то же определение: $b^y=x \iff \log_b(x)=y$. Здесь основание $b=2$, показатель степени $y=-6$, а число $x=\frac{1}{64}$. Следовательно, логарифмическая форма записи данного равенства будет следующей.

Ответ: $\log_2(\frac{1}{64})=-6$.

3) Для равенства $3^4=81$ применим определение логарифма: $\log_b(x)=y$ является эквивалентной формой записи для $b^y=x$. В этом выражении основание $b=3$, показатель степени $y=4$, и число $x=81$. Таким образом, переходя к логарифмической форме, мы получаем.

Ответ: $\log_3(81)=4$.

4) В показательном равенстве $3^{-5}=\frac{1}{243}$ основание $b=3$, показатель степени $y=-5$, а число $x=\frac{1}{243}$. Используя определение логарифма, которое гласит, что $b^y=x$ равносильно $\log_b(x)=y$, мы можем записать исходное равенство в логарифмическом виде.

Ответ: $\log_3(\frac{1}{243})=-5$.

13.3. 1) $27^{\frac{2}{3}} = 9;$

2) $32^{\frac{3}{5}} = 8;$

3) $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27};$

4) $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}.$

1)

Для проверки равенства $27^{\frac{2}{3}} = 9$ необходимо вычислить значение выражения в левой части. Степень с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ можно представить как $\sqrt[n]{a^m}$ или $(\sqrt[n]{a})^m$. Воспользуемся вторым вариантом.

Представим основание 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это в исходное выражение: $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}}$.

При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.

Следовательно, $(3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2$.

Вычисляем результат: $3^2 = 9$.

Так как $9 = 9$, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

2)

Для проверки равенства $32^{\frac{3}{5}} = 8$ вычислим значение выражения в левой части. Представим основание 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$.

Подставим в выражение: $32^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}}$.

Используем свойство возведения степени в степень: $(2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3$.

Вычисляем результат: $2^3 = 8$.

Так как $8 = 8$, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

3)

Для проверки равенства $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$ преобразуем левую часть. Степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Следовательно, $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}}$.

Теперь вычислим знаменатель. Представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.

Тогда $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}}$.

По свойству степени: $(3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3$.

Вычисляем знаменатель: $3^3 = 27$.

Возвращаясь к исходному выражению, получаем $\frac{1}{27}$.

Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{27}$, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

4)

Для проверки равенства $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$ преобразуем левую часть, используя свойство степени с отрицательным показателем: $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{2}{3}}}$.

Вычислим знаменатель $125^{\frac{2}{3}}$. Представим 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.

Подставим в знаменатель: $125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}}$.

По свойству возведения степени в степень: $(5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 5^2$.

Вычисляем значение знаменателя: $5^2 = 25$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{25}$.

Так как $\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

Проверьте справедливость равенств (13.4—13.7):

13.4. 1) $log_3 81 = 4$;

2) $log_5 1 = 0$;

3) $log_2 64 = 6$;

4) $log_5 625 = 4$.

1) Для проверки справедливости равенства $log_3 81 = 4$ воспользуемся определением логарифма. По определению, $log_a b = c$ эквивалентно равенству $a^c = b$. В нашем случае основание логарифма $a=3$, число под логарифмом $b=81$, а значение логарифма $c=4$. Подставив эти значения в эквивалентное равенство, получим $3^4 = 81$. Проверим это, вычислив левую часть: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$. Так как $81 = 81$, равенство верно.

Ответ: равенство справедливо.

2) Проверим равенство $log_5 1 = 0$. Согласно определению логарифма ($log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$), данное равенство эквивалентно $5^0 = 1$. Любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице, поэтому равенство $5^0 = 1$ является верным.

Ответ: равенство справедливо.

3) Проверим справедливость равенства $log_2 64 = 6$. Используя определение логарифма, перепишем его в виде показательного уравнения: $2^6 = 64$. Вычислим левую часть: $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$. Получили верное равенство $64=64$.

Ответ: равенство справедливо.

4) Проверим равенство $log_5 625 = 4$. По определению логарифма, это равенство справедливо тогда и только тогда, когда справедливо равенство $5^4 = 625$. Вычислим степень: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$. Равенство $625=625$ является верным.

Ответ: равенство справедливо.

13.5. 1) $\log_5 0,04 = -2$; 2) $\log_7 2401 = 4$;

3) $\log_3 \frac{1}{243} = -5$; 4) $\lg 0,001 = -3$.

1) Чтобы проверить, верно ли равенство $log_5{0,04} = -2$, необходимо использовать основное логарифмическое тождество, согласно которому $log_b{a} = c$ эквивалентно $b^c = a$.

В данном случае основание $b=5$, число под знаком логарифма $a=0,04$, а значение логарифма $c=-2$.

Подставим эти значения в показательное равенство и проверим его истинность: $5^{-2} = 0,04$.

Вычислим левую часть равенства, используя свойство степени с отрицательным показателем: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства (десятичную дробь) в обыкновенную: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.

Так как левая и правая части равны ($ \frac{1}{25} = \frac{1}{25} $), исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно.

2) Проверим верность равенства $log_7{2401} = 4$. Согласно определению логарифма, данное равенство истинно, если основание логарифма (7), возведенное в степень, равную значению логарифма (4), даст число под знаком логарифма (2401). То есть, если $7^4 = 2401$.

Выполним возведение в степень:

$7^2 = 49$

$7^4 = 7^2 \times 7^2 = 49 \times 49 = 2401$.

Поскольку вычисление подтверждает, что $7^4 = 2401$, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно.

3) Проверим равенство $log_3{\frac{1}{243}} = -5$. По определению логарифма, это равенство будет верным, если $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

Вычислим левую часть равенства, используя свойство степени с отрицательным показателем: $3^{-5} = \frac{1}{3^5}$.

Теперь вычислим знаменатель: $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3 = 243$.

Таким образом, мы получаем, что $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

Так как полученное значение совпадает с правой частью исходного равенства, оно является верным.

Ответ: Равенство верно.

4) Проверим равенство $lg{0,001} = -3$. Запись $lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм с основанием 10. Таким образом, данное равенство можно переписать как $log_{10}{0,001} = -3$.

Используя определение логарифма, проверим, выполняется ли равенство $10^{-3} = 0,001$.

Вычислим левую часть: $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$.

Десятичная дробь $0,001$ читается как "одна тысячная" и равна $\frac{1}{1000}$.

Так как $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0,001$, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно.

13.6. 1) $\log_{\sqrt{2}} 16 = 8;$

2) $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4;$

3) $\log_3 243 = 5;$

4) $\lg 0,1 = -1.$

1) Проверим верность равенства $log_{\sqrt{2}}16 = 8$.

По определению логарифма, равенство $log_b a = c$ эквивалентно равенству $b^c = a$. В данном случае основание $b = \sqrt{2}$, аргумент $a = 16$ и значение логарифма $c = 8$.

Подставим эти значения в показательное равенство: $(\sqrt{2})^8 = 16$.

Преобразуем левую часть. Так как $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, то $(\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8$. По свойству степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем $2^{(1/2) \cdot 8} = 2^4$.

Вычислим $2^4 = 16$.

В результате мы получили тождество $16 = 16$. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

2) Проверим верность равенства $log_{\sqrt{3}}9 = 4$.

Согласно определению логарифма, $log_b a = c$ равносильно $b^c = a$. Здесь $b = \sqrt{3}$, $a = 9$, $c = 4$.

Проверим, выполняется ли равенство $(\sqrt{3})^4 = 9$.

Преобразуем левую часть: $(\sqrt{3})^4 = (3^{1/2})^4 = 3^{(1/2) \cdot 4} = 3^2$.

Вычислим $3^2 = 9$.

Получили верное равенство $9 = 9$. Таким образом, исходное утверждение верно.

Ответ: Равенство верно.

3) Проверим верность равенства $log_3 243 = 5$.

По определению логарифма ($log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a$), данное равенство означает, что $3^5 = 243$.

Проверим это, вычислив левую часть: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Равенство $243 = 243$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

4) Проверим верность равенства $lg \, 0,1 = -1$.

Запись $lg \, a$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $lg \, a = log_{10} a$.

Таким образом, данное равенство можно переписать в виде $log_{10} 0,1 = -1$.

Применим определение логарифма: $log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a$. В нашем случае $b = 10$, $a = 0,1$, $c = -1$.

Проверим равенство $10^{-1} = 0,1$.

По свойству степени с отрицательным показателем, $10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Получили верное равенство $0,1 = 0,1$.

Ответ: Равенство верно.

13.7. 1) $log_{0.2} 0,008 = 3;$

2) $log_{0.3} 0,09 = 2;$

3) $log_4 \frac{1}{64} = -3;$

4) $lg10^3 = 3.$

1) Проверим равенство $ \log_{0.2} 0.008 = 3 $ по определению логарифма. Равенство $ \log_b a = c $ эквивалентно равенству $ b^c = a $. В данном случае основание $ b = 0.2 $, число $ a = 0.008 $ и показатель степени $ c = 3 $. Необходимо проверить, верно ли, что $ 0.2^3 = 0.008 $.

Выполним возведение в степень: $ 0.2^3 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.04 \cdot 0.2 = 0.008 $.

Поскольку $ 0.2^3 = 0.008 $, исходное равенство является верным.

Ответ: равенство верное.

2) Проверим равенство $ \log_{0.3} 0.09 = 2 $ по определению логарифма: $ b^c = a $.

Здесь основание $ b = 0.3 $, число $ a = 0.09 $, показатель степени $ c = 2 $. Проверим, выполняется ли равенство $ 0.3^2 = 0.09 $.

Вычислим $ 0.3^2 $: $ 0.3^2 = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09 $.

Равенство $ 0.3^2 = 0.09 $ выполняется, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: равенство верное.

3) Проверим равенство $ \log_{4} \frac{1}{64} = -3 $ по определению логарифма: $ b^c = a $.

Здесь основание $ b = 4 $, число $ a = \frac{1}{64} $, показатель степени $ c = -3 $. Проверим, выполняется ли равенство $ 4^{-3} = \frac{1}{64} $.

По свойству степени с отрицательным показателем $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $, имеем $ 4^{-3} = \frac{1}{4^3} $.

Вычислим $ 4^3 $: $ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 $.

Таким образом, $ 4^{-3} = \frac{1}{64} $. Равенство выполняется, значит, исходное равенство верно.

Другой способ решения — использовать свойства логарифмов: $ \log_{4} \frac{1}{64} = \log_{4} (64^{-1}) = \log_{4} ((4^3)^{-1}) = \log_{4} 4^{-3} $. По свойству $ \log_b b^x = x $, получаем $ \log_{4} 4^{-3} = -3 $.

Ответ: равенство верное.

4) Проверим равенство $ \lg 10^3 = 3 $.

Запись $ \lg x $ — это общепринятое обозначение десятичного логарифма, то есть логарифма по основанию 10: $ \lg x = \log_{10} x $.

Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $ \log_{10} 10^3 = 3 $.

Воспользуемся свойством логарифма $ \log_b b^x = x $. В данном случае основание $ b = 10 $ и показатель степени $ x = 3 $.

Следовательно, $ \log_{10} 10^3 = 3 $. Равенство является верным.

Ответ: равенство верное.

Найдите логарифмы данных чисел по основанию $a$ (13.8–13.9):

13.8. 1) 5; $\frac{1}{5}$; $\sqrt{5}$, $a = 5$;

2) 64; $\frac{1}{8}$; 128, $a = 2$;

3) 7; $\frac{1}{7}$; 49, $a = 7$;

4) 4; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{64}$, $a = 2$.

1)

Требуется найти логарифмы чисел $5; \frac{1}{5}; \sqrt{5}$ по основанию $a = 5$.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ ($log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

Для числа $5$: найдем $log_5 5$. Нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести $5$, чтобы получить $5$. То есть $5^x = 5$. Очевидно, $x=1$. Таким образом, $log_5 5 = 1$.

Для числа $\frac{1}{5}$: найдем $log_5 \frac{1}{5}$. Нужно найти степень $x$, для которой $5^x = \frac{1}{5}$. Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Значит, $5^x = 5^{-1}$, откуда $x=-1$. Таким образом, $log_5 \frac{1}{5} = -1$.

Для числа $\sqrt{5}$: найдем $log_5 \sqrt{5}$. Нужно найти степень $x$, для которой $5^x = \sqrt{5}$. Используя свойство степеней $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, получаем $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. Значит, $5^x = 5^{\frac{1}{2}}$, откуда $x=\frac{1}{2}$. Таким образом, $log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1; -1; \frac{1}{2}$.

2)

Требуется найти логарифмы чисел $64; \frac{1}{8}; 128$ по основанию $a = 2$.

Для числа $64$: найдем $log_2 64$. Ищем $x$ такой, что $2^x = 64$. Так как $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$, то $x=6$. Следовательно, $log_2 64 = 6$.

Для числа $\frac{1}{8}$: найдем $log_2 \frac{1}{8}$. Ищем $x$ такой, что $2^x = \frac{1}{8}$. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Значит, $2^x = 2^{-3}$, откуда $x=-3$. Следовательно, $log_2 \frac{1}{8} = -3$.

Для числа $128$: найдем $log_2 128$. Ищем $x$ такой, что $2^x = 128$. Так как $128 = 2^7$, то $x=7$. Следовательно, $log_2 128 = 7$.

Ответ: $6; -3; 7$.

3)

Требуется найти логарифмы чисел $7; \frac{1}{7}; 49$ по основанию $a = 7$.

Для числа $7$: найдем $log_7 7$. Так как $7^1 = 7$, то $log_7 7 = 1$.

Для числа $\frac{1}{7}$: найдем $log_7 \frac{1}{7}$. Так как $7^{-1} = \frac{1}{7}$, то $log_7 \frac{1}{7} = -1$.

Для числа $49$: найдем $log_7 49$. Так как $49 = 7^2$, то $log_7 49 = 2$.

Ответ: $1; -1; 2$.

4)

Требуется найти логарифмы чисел $4; \frac{1}{16}; \frac{1}{64}$ по основанию $a = 2$.

Для числа $4$: найдем $log_2 4$. Ищем $x$ такой, что $2^x = 4$. Так как $4 = 2^2$, то $x=2$. Следовательно, $log_2 4 = 2$.

Для числа $\frac{1}{16}$: найдем $log_2 \frac{1}{16}$. Ищем $x$ такой, что $2^x = \frac{1}{16}$. Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = 2^{-4}$. Значит, $2^x = 2^{-4}$, откуда $x=-4$. Следовательно, $log_2 \frac{1}{16} = -4$.

Для числа $\frac{1}{64}$: найдем $log_2 \frac{1}{64}$. Ищем $x$ такой, что $2^x = \frac{1}{64}$. Так как $64 = 2^6$, то $\frac{1}{64} = 2^{-6}$. Значит, $2^x = 2^{-6}$, откуда $x=-6$. Следовательно, $log_2 \frac{1}{64} = -6$.

Ответ: $2; -4; -6$.

13.9. 1) 243; $\frac{1}{81}$; 27, $a=3$;

2) 5; 25; $\frac{1}{625}$, $a=\frac{1}{5}$;

3) 4; 8; $\frac{1}{32}$, $a=\frac{1}{2}$;

4) 3; 9; $\frac{1}{27}$, $a=\frac{1}{3}$.

1) Требуется представить числа 243; $\frac{1}{81}$; 27 в виде степени с основанием $a=3$.

- Для числа 243: найдём показатель степени $x$, для которого $3^x = 243$. Выполним вычисления: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$. Следовательно, $x=5$ и $243 = 3^5$.

- Для числа $\frac{1}{81}$: найдём показатель степени $x$, для которого $3^x = \frac{1}{81}$. Мы знаем, что $81 = 3^4$. По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$. Следовательно, $x=-4$.

- Для числа 27: найдём показатель степени $x$, для которого $3^x = 27$. Из вычислений выше, $27 = 3^3$. Следовательно, $x=3$.

Ответ: $243 = 3^5$; $\frac{1}{81} = 3^{-4}$; $27 = 3^3$.

2) Требуется представить числа 5; 25; $\frac{1}{625}$ в виде степени с основанием $a=\frac{1}{5}$.

- Для числа 5: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{5})^x = 5$. Используем свойство $(\frac{1}{b})^n = b^{-n}$. Тогда $(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$. Получаем уравнение $5^{-x} = 5^1$, откуда $-x=1$ и $x=-1$. Таким образом, $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.

- Для числа 25: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{5})^x = 25$. Так как $25 = 5^2$, получаем уравнение $(\frac{1}{5})^x = 5^2$, что эквивалентно $5^{-x} = 5^2$. Отсюда $-x=2$ и $x=-2$. Таким образом, $25 = (\frac{1}{5})^{-2}$.

- Для числа $\frac{1}{625}$: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{625}$. Мы знаем, что $625 = 5^4$. Тогда $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$. Следовательно, $x=4$.

Ответ: $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$; $25 = (\frac{1}{5})^{-2}$; $\frac{1}{625} = (\frac{1}{5})^4$.

3) Требуется представить числа 4; 8; $\frac{1}{32}$ в виде степени с основанием $a=\frac{1}{2}$.

- Для числа 4: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{2})^x = 4$. Так как $4=2^2$ и $(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$, получаем уравнение $2^{-x} = 2^2$. Отсюда $-x=2$ и $x=-2$. Таким образом, $4 = (\frac{1}{2})^{-2}$.

- Для числа 8: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{2})^x = 8$. Так как $8=2^3$, получаем уравнение $2^{-x} = 2^3$. Отсюда $-x=3$ и $x=-3$. Таким образом, $8 = (\frac{1}{2})^{-3}$.

- Для числа $\frac{1}{32}$: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{32}$. Мы знаем, что $32=2^5$. Тогда $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$. Следовательно, $x=5$.

Ответ: $4 = (\frac{1}{2})^{-2}$; $8 = (\frac{1}{2})^{-3}$; $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$.

4) Требуется представить числа 3; 9; $\frac{1}{27}$ в виде степени с основанием $a=\frac{1}{3}$.

- Для числа 3: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{3})^x = 3$. Используем свойство $(\frac{1}{b})^n = b^{-n}$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = 3^{-x}$. Получаем уравнение $3^{-x} = 3^1$, откуда $-x=1$ и $x=-1$. Таким образом, $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$.

- Для числа 9: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{3})^x = 9$. Так как $9 = 3^2$, получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = 3^2$, что эквивалентно $3^{-x} = 3^2$. Отсюда $-x=2$ и $x=-2$. Таким образом, $9 = (\frac{1}{3})^{-2}$.

- Для числа $\frac{1}{27}$: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$. Мы знаем, что $27=3^3$. Тогда $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$. Следовательно, $x=3$.

Ответ: $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$; $9 = (\frac{1}{3})^{-2}$; $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$.

Вычислите (13.10 – 13.13):

13.10. 1) $log_{12} 3 + log_{12} 4;$ 2) $log_2 98 - log_2 2;$

3) $log_2 5 - log_2 35 + log_2 56;$ 4) $log_{\frac{1}{3}} 5 - log_{\frac{1}{3}} 405 + log_{\frac{1}{3}} 9.$

1)Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием используется свойство: $log_a x + log_a y = log_a(x \cdot y)$.

Применим это свойство к данному выражению:

$log_{12} 3 + log_{12} 4 = log_{12}(3 \cdot 4) = log_{12} 12$.

Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице, так как $12^1 = 12$.

$log_{12} 12 = 1$.

Ответ: 1.

2)Для вычисления разности логарифмов с одинаковым основанием используется свойство: $log_a x - log_a y = log_a(\frac{x}{y})$.

Применим это свойство к данному выражению:

$log_7 98 - log_7 2 = log_7(\frac{98}{2}) = log_7 49$.

Теперь необходимо найти, в какую степень нужно возвести основание 7, чтобы получить 49. Поскольку $7^2 = 49$, то:

$log_7 49 = 2$.

Ответ: 2.

3)В этом выражении комбинируются сложение и вычитание логарифмов. Используем оба свойства: $log_a x + log_a y = log_a(x \cdot y)$ и $log_a x - log_a y = log_a(\frac{x}{y})$.

Объединим действия в одно выражение под знаком логарифма:

$log_2 5 - log_2 35 + log_2 56 = log_2(\frac{5 \cdot 56}{35})$.

Упростим дробь под логарифмом:

$\frac{5 \cdot 56}{35} = \frac{5 \cdot 56}{5 \cdot 7} = \frac{56}{7} = 8$.

Таким образом, выражение сводится к $log_2 8$.

Найдём, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8. Поскольку $2^3 = 8$, то:

$log_2 8 = 3$.

Ответ: 3.

4)Это выражение также содержит сумму и разность логарифмов с одинаковым основанием $\frac{1}{3}$.

Применим свойства логарифмов:

$log_{\frac{1}{3}} 5 - log_{\frac{1}{3}} 405 + log_{\frac{1}{3}} 9 = log_{\frac{1}{3}}(\frac{5 \cdot 9}{405})$.

Упростим выражение под знаком логарифма:

$\frac{5 \cdot 9}{405} = \frac{45}{405}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 45:

$\frac{45}{405} = \frac{1}{9}$.

Таким образом, мы получили $log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9})$.

Теперь найдем, в какую степень нужно возвести $\frac{1}{3}$, чтобы получить $\frac{1}{9}$. Поскольку $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$, то:

$log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9}) = 2$.

Ответ: 2.

13.11. 1) $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$;

2) $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$;

3) $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$;

4) $0.04^{\log_{0.2} 5} + 0.36^{\log_{0.6} 5}$.

1) $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$

Для решения данного примера воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$.

Применим это тождество к каждому слагаемому в выражении.

Для первого слагаемого: $3^{\log_3 5} = 5$.

Для второго слагаемого: $5^{\log_5 6} = 6$.

Теперь сложим полученные результаты: $5 + 6 = 11$.

Ответ: 11.

2) $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$

Для решения этого примера сначала преобразуем основания степеней. Заметим, что $25 = 5^2$ и $49 = 7^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(5^2)^{\log_5 3} + (7^2)^{\log_7 2}$.

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{2 \cdot \log_5 3} + 7^{2 \cdot \log_7 2}$.

Теперь применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$ к показателям степеней:

$5^{\log_5 3^2} + 7^{\log_7 2^2} = 5^{\log_5 9} + 7^{\log_7 4}$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$9 + 4 = 13$.

Ответ: 13.

3) $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$

Как и в первом примере, используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.

Применим его для уменьшаемого и вычитаемого.

$7^{\log_7 6} = 6$.

$8^{\log_8 9} = 9$.

Выполним вычитание: $6 - 9 = -3$.

Ответ: -3.

4) $0,04^{\log_{0,2} 5} + 0,36^{\log_{0,6} 5}$

Преобразуем основания степеней. Заметим, что $0,04 = (0,2)^2$ и $0,36 = (0,6)^2$.

Подставим эти значения в выражение:

$((0,2)^2)^{\log_{0,2} 5} + ((0,6)^2)^{\log_{0,6} 5}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$0,2^{2 \cdot \log_{0,2} 5} + 0,6^{2 \cdot \log_{0,6} 5}$.

Далее, применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:

$0,2^{\log_{0,2} 5^2} + 0,6^{\log_{0,6} 5^2} = 0,2^{\log_{0,2} 25} + 0,6^{\log_{0,6} 25}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ находим значения слагаемых:

$25 + 25 = 50$.

Ответ: 50.