Страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Существует ли логарифм отрицательного числа? Ответ обоснуйте.

2. В каких случаях применяется свойство перехода к новому основанию?

3. Учитывается ли основание логарифма при потенцировании? Ответ обоснуйте.

1. Существует ли логарифм отрицательного числа? Ответ обоснуйте.

В области действительных чисел логарифм отрицательного числа не существует.

Обоснование:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается как $\log_a(b)$) — это показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Это можно записать в виде эквивалентного равенства:

$\log_a(b) = c \Leftrightarrow a^c = b$.

В определении логарифма есть строгие ограничения: основание $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$), а число под знаком логарифма $b$ должно быть строго положительным ($b > 0$).

Ограничение $b > 0$ является прямым следствием ограничения $a > 0$. Возведение положительного числа $a$ в любую действительную степень $c$ всегда дает в результате положительное число. Не существует такой действительной степени $c$, чтобы $a^c$ стало отрицательным числом.

Например, если мы попытаемся найти $\log_2(-8)$, мы будем искать такое число $c$, что $2^c = -8$, что невозможно в действительных числах.

Ответ: Нет, логарифм отрицательного числа в области действительных чисел не существует, так как по определению логарифма его аргумент (число под знаком логарифма) должен быть положительным.

2. В каких случаях применяется свойство перехода к новому основанию?

Свойство перехода к новому основанию, которое выражается формулой $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$ (где $c$ — новое основание, $c > 0, c \neq 1$), применяется в нескольких ключевых случаях:

1. Для вычисления значений логарифмов. Большинство калькуляторов могут вычислять только натуральные (по основанию $e$, обозначается $\ln$) и десятичные (по основанию 10, обозначается $\log$ или $\lg$) логарифмы. Чтобы найти значение логарифма с другим основанием, например $\log_5(17)$, его приводят к удобному основанию:$\log_5(17) = \frac{\ln(17)}{\ln(5)} \approx \frac{2.833}{1.609} \approx 1.76$.

2. При упрощении логарифмических выражений. Если в выражении встречаются логарифмы с разными основаниями, их приводят к одному основанию для дальнейших преобразований. Например, чтобы упростить выражение $\log_2(x) \cdot \log_x(32)$, можно перейти к основанию 2:$\log_2(x) \cdot \frac{\log_2(32)}{\log_2(x)} = \log_2(32) = 5$.

3. При решении логарифмических уравнений и неравенств. Если в уравнении или неравенстве присутствуют логарифмы с разными основаниями, переход к одному основанию является стандартным методом решения. Например, в уравнении $\log_3(x) = \log_9(16)$ можно перейти к основанию 3:$\log_3(x) = \frac{\log_3(16)}{\log_3(9)} = \frac{\log_3(16)}{2}$. Отсюда $2\log_3(x) = \log_3(16)$, то есть $\log_3(x^2) = \log_3(16)$, что дает $x^2 = 16$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=4$.

Ответ: Свойство перехода к новому основанию применяется для вычисления значений логарифмов на калькуляторе, а также для упрощения выражений и решения уравнений и неравенств, содержащих логарифмы с разными основаниями.

3. Учитывается ли основание логарифма при потенцировании? Ответ обоснуйте.

Да, основание логарифма является ключевым элементом при потенцировании.

Обоснование:

Потенцирование — это операция, обратная логарифмированию. Она заключается в нахождении числа по известному значению его логарифма. Если нам дано равенство $\log_a(x) = b$, то потенцирование — это нахождение $x$.

Исходя из определения логарифма, равенство $\log_a(x) = b$ эквивалентно равенству $x = a^b$.

Из этой формулы видно, что результат потенцирования ($x$) напрямую зависит от основания $a$. Если изменить основание, то при том же значении логарифма $b$ получится совершенно другое число $x$.

Рассмотрим пример. Пусть нам известно, что логарифм некоторого числа $x$ равен 3.

• Если основание логарифма равно 2, то есть $\log_2(x) = 3$, то $x = 2^3 = 8$.
• Если основание логарифма равно 10, то есть $\log_{10}(x) = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.

Ответ: Да, основание логарифма обязательно учитывается при потенцировании, так как оно является основанием степени, в которую возводится значение логарифма для нахождения искомого числа.