Номер 14.4, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Сравните выражения (14.4-14.5):

14.4. 1) $\log_4 5.8$ и $\log_4 8.1$;

2) $\log_{\frac{1}{5}} 0.25$ и $\log_{\frac{1}{5}} 0.36$;

3) $\log_{6.5} \frac{5}{6}$ и $\log_{6.5} \frac{1}{6}$;

4) $\log_{\sqrt{3}} 5$ и $\log_{\sqrt{3}} 4$.

1) Для сравнения выражений $\log_4 5.8$ и $\log_4 8.1$ необходимо проанализировать основание логарифмической функции. Основание $a = 4$. Так как $a > 1$ ($4 > 1$), логарифмическая функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. На области определения для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним аргументы логарифмов: $5.8 < 8.1$. Поскольку функция возрастающая, то и значения логарифмов будут находиться в том же соотношении. Следовательно, $\log_4 5.8 < \log_4 8.1$.

Ответ: $\log_4 5.8 < \log_4 8.1$.

2) Для сравнения выражений $\log_{1/5} 0.25$ и $\log_{1/5} 0.36$ рассмотрим основание логарифма. Основание $a = \frac{1}{5}$. Так как $0 < a < 1$ ($0 < \frac{1}{5} < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{1/5} x$ является убывающей. На области определения для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним аргументы: $0.25 < 0.36$. Поскольку функция убывающая, знак неравенства для значений логарифмов будет противоположным. Таким образом, $\log_{1/5} 0.25 > \log_{1/5} 0.36$.

Ответ: $\log_{1/5} 0.25 > \log_{1/5} 0.36$.

3) Сравним выражения $\log_{6.5} \frac{5}{6}$ и $\log_{6.5} \frac{1}{6}$. Основание логарифма $a = 6.5$. Поскольку $a > 1$ ($6.5 > 1$), логарифмическая функция $y = \log_{6.5} x$ является возрастающей. Это означает, что знак неравенства для логарифмов будет таким же, как и для их аргументов. Сравним аргументы: $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{6}$. Так как у дробей одинаковый знаменатель, сравниваем числители: $5 > 1$. Следовательно, $\frac{5}{6} > \frac{1}{6}$. Поскольку функция возрастающая, то и $\log_{6.5} \frac{5}{6} > \log_{6.5} \frac{1}{6}$.

Ответ: $\log_{6.5} \frac{5}{6} > \log_{6.5} \frac{1}{6}$.

4) Сравним выражения $\log_{\sqrt{3}} 5$ и $\log_{\sqrt{3}} 4$. Основание логарифма $a = \sqrt{3}$. Поскольку $1 < 3 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, что означает $1 < \sqrt{3} < 2$. Так как основание $a = \sqrt{3} > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\sqrt{3}} x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $5 > 4$. Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. Следовательно, $\log_{\sqrt{3}} 5 > \log_{\sqrt{3}} 4$.

Ответ: $\log_{\sqrt{3}} 5 > \log_{\sqrt{3}} 4$.