Номер 12.4, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.4. Найдите множество значений функции $y = f(x):$

1) $f(x) = 0,24^x + 3;$

2) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x - 2;$

3) $f(x) = -7^x + 1;$

4) $f(x) = 36^x - 4.$

1) $f(x) = 0.24^x + 3$

Для нахождения множества значений функции $f(x)$ необходимо проанализировать ее составляющие. Функция $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, называется показательной. Множество ее значений — все положительные действительные числа, то есть интервал $(0; +\infty)$.

В данном случае, у нас есть показательная часть $0.24^x$. Так как основание $0.24 > 0$ и $0.24 \neq 1$, то множество значений для $0.24^x$ есть $(0; +\infty)$.

Это можно записать в виде неравенства: $0.24^x > 0$.

Функция $f(x)$ получается путем прибавления константы 3 к $0.24^x$. Это соответствует сдвигу графика функции $y=0.24^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Применим это преобразование к неравенству:

$0.24^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие 3.

Ответ: $(3; +\infty)$

2) $f(x) = (\frac{3}{4})^x - 2$

Аналогично первому пункту, рассмотрим показательную часть $(\frac{3}{4})^x$. Основание $a = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Множество значений для $(\frac{3}{4})^x$ — это интервал $(0; +\infty)$.

Запишем это в виде неравенства: $(\frac{3}{4})^x > 0$.

Функция $f(x)$ получается путем вычитания константы 2 из $(\frac{3}{4})^x$. Это соответствует сдвигу графика функции $y=(\frac{3}{4})^x$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

Применим это преобразование к неравенству:

$(\frac{3}{4})^x - 2 > 0 - 2$

$f(x) > -2$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие -2.

Ответ: $(-2; +\infty)$

3) $f(x) = -7^x + 1$

Сначала рассмотрим показательную функцию $y=7^x$. Ее множество значений — $(0; +\infty)$, то есть $7^x > 0$.

В нашей функции $f(x)$ перед $7^x$ стоит знак минус. Это соответствует отражению графика $y=7^x$ относительно оси абсцисс. При умножении неравенства на -1, знак неравенства меняется на противоположный:

$-7^x < 0$.

Таким образом, множество значений для $-7^x$ — это $(-\infty; 0)$.

Далее, к выражению $-7^x$ прибавляется 1. Это сдвигает график на 1 единицу вверх.

Применим это преобразование к неравенству:

$-7^x + 1 < 0 + 1$

$f(x) < 1$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, меньшие 1.

Ответ: $(-\infty; 1)$

4) $f(x) = 36^x - 4$

Рассмотрим показательную часть $36^x$. Основание $a = 36$ больше 0 и не равно 1.

Множество значений для $36^x$ — это интервал $(0; +\infty)$.

Запишем это в виде неравенства: $36^x > 0$.

Функция $f(x)$ получается путем вычитания константы 4 из $36^x$. Это соответствует сдвигу графика функции $y=36^x$ на 4 единицы вниз вдоль оси ординат.

Применим это преобразование к неравенству:

$36^x - 4 > 0 - 4$

$f(x) > -4$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие -4.

Ответ: $(-4; +\infty)$