Номер 12.1, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Постройте графики функции $y = f(x)$ (12.1-12.2):

12.1. 1) $f(x) = 5^x$;

2) $f(x) = 1,5^x$;

3) $f(x) = 0,85^x$;

4) $f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x$.

1)

Рассмотрим функцию $f(x) = 5^x$. Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=5$.

Для построения графика проанализируем свойства функции и найдем координаты нескольких точек.

Свойства функции:

Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

Поскольку основание $a=5 > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения.

График функции пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0; 1)$, так как $5^0=1$.

Ось абсцисс (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Контрольные точки:

При $x = -1$, $y = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка $(-1; 0.2)$.

При $x = 0$, $y = 5^0 = 1$. Точка $(0; 1)$.

При $x = 1$, $y = 5^1 = 5$. Точка $(1; 5)$.

Для построения графика необходимо нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой, которая слева (при $x \to -\infty$) приближается к оси $Ox$, а справа (при $x \to +\infty$) резко уходит вверх.

Ответ: График функции $y=5^x$ – это гладкая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$, является возрастающей и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$. График расположен в верхней полуплоскости и проходит, например, через точки $(-1; 0.2)$ и $(1; 5)$.

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = 1.5^x$. Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=1.5$.

Для построения графика проанализируем свойства функции и найдем координаты нескольких точек.

Свойства функции:

Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

Поскольку основание $a=1.5 > 1$, функция является строго возрастающей.

График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $1.5^0=1$.

Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Контрольные точки:

При $x = -1$, $y = 1.5^{-1} = (\frac{3}{2})^{-1} = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Точка $(-1; \frac{2}{3})$.

При $x = 0$, $y = 1.5^0 = 1$. Точка $(0; 1)$.

При $x = 1$, $y = 1.5^1 = 1.5$. Точка $(1; 1.5)$.

При $x = 2$, $y = 1.5^2 = 2.25$. Точка $(2; 2.25)$.

Для построения графика нужно нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой. Кривая будет расти медленнее, чем график $y=5^x$.

Ответ: График функции $y=1.5^x$ – это гладкая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$, является возрастающей и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$. График расположен в верхней полуплоскости и проходит, например, через точки $(-1; \frac{2}{3})$ и $(1; 1.5)$.

3)

Рассмотрим функцию $f(x) = 0.85^x$. Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=0.85$.

Для построения графика проанализируем свойства функции и найдем координаты нескольких точек.

Свойства функции:

Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

Поскольку основание $0 < a=0.85 < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения.

График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $0.85^0=1$.

Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Контрольные точки:

При $x = -1$, $y = 0.85^{-1} = \frac{1}{0.85} = \frac{100}{85} = \frac{20}{17} \approx 1.18$. Точка $(-1; \frac{20}{17})$.

При $x = 0$, $y = 0.85^0 = 1$. Точка $(0; 1)$.

При $x = 1$, $y = 0.85^1 = 0.85$. Точка $(1; 0.85)$.

Для построения графика необходимо нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой, которая слева (при $x \to -\infty$) уходит вверх, а справа (при $x \to +\infty$) приближается к оси $Ox$.

Ответ: График функции $y=0.85^x$ – это гладкая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$, является убывающей и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$. График расположен в верхней полуплоскости и проходит, например, через точки $(-1; \frac{20}{17})$ и $(1; 0.85)$.

4)

Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{2}{3})^x$. Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=\frac{2}{3}$.

Для построения графика проанализируем свойства функции и найдем координаты нескольких точек.

Свойства функции:

Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

Поскольку основание $0 < a=\frac{2}{3} < 1$, функция является строго убывающей.

График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $(\frac{2}{3})^0=1$.

Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Контрольные точки:

При $x = -2$, $y = (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$. Точка $(-2; 2.25)$.

При $x = -1$, $y = (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} = 1.5$. Точка $(-1; 1.5)$.

При $x = 0$, $y = (\frac{2}{3})^0 = 1$. Точка $(0; 1)$.

При $x = 1$, $y = (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Точка $(1; \frac{2}{3})$.

Для построения графика нужно нанести эти точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой, которая убывает при увеличении $x$.

Ответ: График функции $y=(\frac{2}{3})^x$ – это гладкая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$, является убывающей и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$. График расположен в верхней полуплоскости и проходит, например, через точки $(-1; 1.5)$ и $(1; \frac{2}{3})$.