Страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\sqrt{x^2 - 8x}$:

A $(0; 8)$;

B $[0; 8];$

C $(-\infty; 0) \cup (8; +\infty);$

D $(-\infty; 0] \cup [8; +\infty);$

E $(0; 8]$?

1. Выражение $\sqrt{x^2 - 8x}$ имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Таким образом, необходимо решить следующее неравенство:

$x^2 - 8x \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 8x = 0$. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 8$

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$. Теперь определим знак выражения $x^2 - 8x$ на каждом из этих интервалов. Можно использовать метод интервалов или рассмотреть параболу $y = x^2 - 8x$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) вне интервала между корнями. То есть при $x \le 0$ и при $x \ge 8$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни $x=0$ и $x=8$ включаются в решение.

Следовательно, областью определения выражения является объединение двух промежутков:

$(-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом D.

Ответ: D) $(-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$

2. Найдите допустимые значения переменной в выражении $\sqrt{64 - x^2}$:

A) $(-8; 8)$;

B) $[-8; 8]$;

C) $(-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$;

D) $(-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$;

E) $(-8; 8]$.

Допустимые значения переменной (или область определения) для выражения $\sqrt{64 - x^2}$ находятся из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равным нулю.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$64 - x^2 \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего уравнения $64 - x^2 = 0$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$8^2 - x^2 = 0$

$(8 - x)(8 + x) = 0$

Отсюда получаем корни уравнения: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

График функции $y = 64 - x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -8$ и $x = 8$.

Неравенство $64 - x^2 \ge 0$ будет выполняться на том промежутке, где график функции находится на оси абсцисс или выше неё. Для параболы с ветвями вниз это промежуток между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни также включаются в решение.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-8; 8]$. Это и есть область допустимых значений для переменной $x$. Сравнивая с вариантами ответа, мы видим, что это соответствует варианту B.

Ответ: B) $[-8; 8]$

3. Найдите область определения функции $y = 2 - \sqrt{x^2 + 3}$:

A $(-\infty; -3)$;

B $[-\infty; \sqrt{3}]$;

C любое число;

D $[\sqrt{3}; +\infty)$.

Для нахождения области определения функции $y = 2 - \sqrt{x^2 + 3}$ необходимо определить множество всех допустимых значений переменной $x$.

Функция содержит выражение с квадратным корнем. Главное ограничение для квадратного корня заключается в том, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (то есть больше или равно нулю).

В данном случае подкоренное выражение равно $x^2 + 3$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$x^2 + 3 \ge 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $x^2$ представляет собой квадрат любого действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для всех $x \in R$.

Если к неотрицательному значению $x^2$ прибавить положительное число 3, то сумма $x^2 + 3$ всегда будет положительной. Наименьшее возможное значение выражения $x^2$ равно 0 (при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение выражения $x^2 + 3$ равно $0 + 3 = 3$.

Поскольку $x^2 + 3 \ge 3$ для любого значения $x$, то и условие $x^2 + 3 \ge 0$ выполняется всегда.

Таким образом, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, что можно записать в виде интервала $(-\infty; +\infty)$.

Среди предложенных вариантов этому соответствует вариант C.

Ответ: C) любое число.

4. Решите уравнение $\sqrt{x - 4} = 7$:

A) 0;

B) 49;

C) 50;

D) 53.

4. Дано уравнение $\sqrt{x-4} = 7$.

Это иррациональное уравнение. Чтобы найти неизвестную переменную $x$, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-4})^2 = 7^2$

В левой части квадратный корень и возведение в квадрат являются взаимообратными операциями, поэтому они сокращаются. В правой части вычисляем квадрат числа 7:

$x - 4 = 49$

Получилось простое линейное уравнение. Чтобы найти $x$, перенесем слагаемое $-4$ из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак на противоположный:

$x = 49 + 4$

$x = 53$

При решении иррациональных уравнений путем возведения в квадрат необходимо выполнять проверку, чтобы исключить посторонние корни. Подставим найденное значение $x = 53$ в исходное уравнение:

$\sqrt{53 - 4} = 7$

$\sqrt{49} = 7$

$7 = 7$

Получено верное равенство, следовательно, значение $x = 53$ является корнем данного уравнения.

Также можно проверить область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком корня не может быть отрицательным.

$x - 4 \ge 0$

$x \ge 4$

Найденный корень $x=53$ удовлетворяет этому условию ($53 \ge 4$).

Ответ: 53.

5. Найдите корень уравнения $\sqrt{2x + 3} = x$:

A -3;

B 1;

C 3;

D -1?

Для решения иррационального уравнения $\sqrt{2x + 3} = x$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Во-первых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $2x + 3 \ge 0$, что дает $2x \ge -3$, и, следовательно, $x \ge -1.5$.

Во-вторых, по определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным. Так как правая часть уравнения равна $x$, то должно выполняться условие $x \ge 0$.

Объединяя эти два условия ($x \ge -1.5$ и $x \ge 0$), получаем итоговую ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

Теперь, когда ОДЗ определена, можно приступить к решению уравнения. Для этого возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{2x + 3})^2 = x^2$

$2x + 3 = x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -1.

Получаем два потенциальных корня:

$x_1 = 3$

$x_2 = -1$

Далее необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).

- Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$, следовательно, является решением исходного уравнения.

- Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому является посторонним корнем и не является решением.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x=3$. Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = 3$

$\sqrt{6 + 3} = 3$

$\sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: 3

6. Решите уравнение $\sqrt{3x - 5} = x - 3$:

A 2,7;

B 7;

C 2;

D не имеет решения.

Данное уравнение является иррациональным: $\sqrt{3x - 5} = x - 3$.

Для решения таких уравнений необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ). Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, и выражение под знаком корня также должно быть неотрицательным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} 3x \ge 5 \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \ge 3 \end{cases}$

Более строгим является второе неравенство, поэтому ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 3$.

Теперь, когда ОДЗ определена, можно возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(\sqrt{3x - 5})^2 = (x - 3)^2$

$3x - 5 = x^2 - 6x + 9$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 3x + 9 + 5 = 0$

$x^2 - 9x + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $9$, а их произведение равно $14$. Корни легко находятся подбором:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

На последнем шаге необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 3$):

1. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$ (так как $2 < 3$), следовательно, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.

2. Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет условию $x \ge 3$ (так как $7 > 3$), следовательно, это действительный корень уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 7.

7. Найдите корни уравнения $\sqrt{x + 4} = \sqrt{5 - x}$:

A) 4,5;

B) -4,5;

C) -0,5;

D) 0,5;

E) не имеет решения.

Для решения уравнения $\sqrt{x+4} = \sqrt{5-x}$ необходимо сначала определить его область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x \in [-4, 5]$. Любой корень уравнения должен принадлежать этому промежутку.

Теперь, когда ОДЗ найдена, можно приступить к решению самого уравнения. Поскольку обе части уравнения неотрицательны (так как это арифметические квадратные корни), мы можем возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от радикалов. Это преобразование будет равносильным на ОДЗ.

$(\sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{5-x})^2$

$x + 4 = 5 - x$

Получилось линейное уравнение. Решим его, перенеся слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$x + x = 5 - 4$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2} = 0,5$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = 0,5$ области допустимых значений. Условие $-4 \le 0,5 \le 5$ выполняется, следовательно, найденное значение является корнем исходного уравнения.

Можно также выполнить проверку, подставив корень в исходное уравнение:

$\sqrt{0,5 + 4} = \sqrt{5 - 0,5}$

$\sqrt{4,5} = \sqrt{4,5}$

Равенство верное.

Ответ: 0,5