Страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Почему решение иррационального уравнения $\sqrt[4]{x} = -16$ является пустое множество?

Допустимыми значениями переменной в иррациональном уравнении $\sqrt{2x-1} + \sqrt{4-x} = 0$ является пустое множество. Рассмотрите самостоятельно.

Почему решением иррационального уравнения $\sqrt[4]{x} = -16$ является пустое множество?

Данное уравнение содержит арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой). По определению, арифметический корень четной степени из любого неотрицательного числа есть число неотрицательное.

Это означает, что левая часть уравнения, $\sqrt[4]{x}$, может принимать только значения, которые больше или равны нулю, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$.

Правая часть уравнения равна $-16$, что является отрицательным числом.

Таким образом, мы приходим к противоречию: неотрицательное число ($\sqrt[4]{x}$) не может быть равно отрицательному числу ($-16$). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: решением является пустое множество, так как значение арифметического корня четной степени не может быть отрицательным числом.

Допустимыми значениями переменной в иррациональном уравнении $\sqrt{2x-1} + \sqrt{4-x} = 0$ является пустое множество. Рассмотрите самостоятельно.

В формулировке вопроса, вероятно, имеется в виду, что множество решений уравнения является пустым, а не область допустимых значений (ОДЗ). Проверим это, начав с нахождения ОДЗ.

Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями, при которых подкоренные выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $$

Решим эту систему: $$ \begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \le 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \le 4 \end{cases} $$ Решением системы является пересечение этих промежутков: $x \in [0.5, 4]$. Как видим, ОДЗ не является пустым множеством.

Теперь решим само уравнение $\sqrt{2x-1} + \sqrt{4-x} = 0$.

Поскольку значения квадратных корней всегда неотрицательны ($\sqrt{2x-1} \ge 0$ и $\sqrt{4-x} \ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю одновременно. Таким образом, мы получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{2x-1} = 0 \\ \sqrt{4-x} = 0 \end{cases} $$

Решим каждое уравнение в системе: $$ \begin{cases} 2x - 1 = 0 \\ 4 - x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0.5 \\ x = 4 \end{cases} $$

Эта система требует, чтобы переменная $x$ одновременно была равна $0.5$ и $4$. Поскольку $0.5 \neq 4$, система не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: множество решений уравнения является пустым, так как не существует такого значения $x$, при котором оба подкоренных выражения одновременно обращаются в ноль.