Страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.10. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на $[a; b]$:

1) $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$, $[1; 9]$;

2) $f(x) = x^{-5}$, $[2; 3]$;

3) $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$, $[8; 27]$;

4) $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $[1; 16]$.

1) Дана функция $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ на отрезке $[1; 9]$.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке:

1. Найти производную функции $f'(x)$.

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка.

3. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

4. Выбрать из полученных значений наименьшее и наибольшее.

Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 0$, откуда получаем $x = 0$.

Критическая точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[1; 9]$.

Поскольку на интервале $(1; 9)$ производная $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ всегда положительна ($f'(x) > 0$), функция является строго возрастающей на всем отрезке $[1; 9]$.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(1) = 1^{\frac{3}{2}} = 1$.

Наибольшее значение: $f(9) = 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $27$.

2) Дана функция $f(x) = x^{-5}$ на отрезке $[2; 3]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-5})' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $-\frac{5}{x^6} = 0$, не имеет решений. Производная определена для всех $x \neq 0$, поэтому на отрезке $[2; 3]$ критических точек нет.

Исследуем знак производной на отрезке $[2; 3]$. Поскольку $x^6 > 0$ для любого $x$ из этого отрезка, то $f'(x) = -\frac{5}{x^6} < 0$.

Так как производная отрицательна на всем отрезке, функция $f(x)$ является строго убывающей.

Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $f(2) = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Наименьшее значение: $f(3) = 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{243}$, наибольшее значение $\frac{1}{32}$.

3) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$ на отрезке $[8; 27]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(x^{-\frac{2}{3}}\right)' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[8; 27]$. Таким образом, на данном отрезке нет критических точек.

Исследуем знак производной. Для любого $x$ из отрезка $[8; 27]$ значение $x$ положительно, а значит и $\sqrt[3]{x^5}$ положительно.

Следовательно, $f'(x) = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} < 0$ на всем отрезке.

Так как производная отрицательна, функция $f(x)$ является строго убывающей.

Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $f(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^{-2} = (\sqrt[3]{8})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Наименьшее значение: $f(27) = 27^{-\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^{-2} = (\sqrt[3]{27})^{-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{9}$, наибольшее значение $\frac{1}{4}$.

4) Дана функция $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ на отрезке $[1; 16]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(x^{\frac{1}{4}}\right)' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 16]$. Таким образом, на данном отрезке нет критических точек.

Исследуем знак производной. Для любого $x$ из отрезка $[1; 16]$ значение $x$ положительно, а значит и $\sqrt[4]{x^3}$ положительно.

Следовательно, $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} > 0$ на всем отрезке.

Так как производная положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(1) = 1^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Наибольшее значение: $f(16) = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $2$.

9.11. Напишите общий вид первообразных функции $y = f(x):$

1) $f(x) = x^{-1+\sqrt{5}} + x^{2.5};$

2) $f(x) = -2x^{-53} + \sqrt{x};$

3) $f(x) = x^{-2+\sqrt{2}} + \sqrt[4]{x^3};$

4) $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - \sqrt[5]{x^2}.$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = x^{-1+\sqrt{5}} + x^{2.5}$ воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ и правилом интегрирования суммы функций. Общий вид первообразной $F(x)$ будет суммой первообразных для каждого слагаемого плюс произвольная постоянная $C$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $x^{-1+\sqrt{5}}$:

$\int x^{-1+\sqrt{5}} \,dx = \frac{x^{(-1+\sqrt{5})+1}}{(-1+\sqrt{5})+1} = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}.$

Найдем первообразную для второго слагаемого $x^{2.5}$:

$\int x^{2.5} \,dx = \frac{x^{2.5+1}}{2.5+1} = \frac{x^{3.5}}{3.5}.$

Таким образом, общий вид первообразных для исходной функции:

$F(x) = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{3.5}}{3.5} + C.$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{3.5}}{3.5} + C$.

2) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = -2x^{-53} + \sqrt{x}$ сначала представим ее в виде суммы степенных функций: $f(x) = -2x^{-53} + x^{1/2}$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $-2x^{-53}$:

$\int -2x^{-53} \,dx = -2 \cdot \frac{x^{-53+1}}{-53+1} = -2 \cdot \frac{x^{-52}}{-52} = \frac{1}{26}x^{-52}.$

Найдем первообразную для второго слагаемого $x^{1/2}$:

$\int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.$

Общий вид первообразных $F(x)$ равен сумме полученных первообразных плюс произвольная постоянная $C$:

$F(x) = \frac{1}{26}x^{-52} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C.$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{26}x^{-52} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

3) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = x^{-3+\sqrt{2}} + \sqrt[4]{x^3}$ представим ее в виде суммы степенных функций: $f(x) = x^{-3+\sqrt{2}} + x^{3/4}$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $x^{-3+\sqrt{2}}$:

$\int x^{-3+\sqrt{2}} \,dx = \frac{x^{(-3+\sqrt{2})+1}}{(-3+\sqrt{2})+1} = \frac{x^{-2+\sqrt{2}}}{-2+\sqrt{2}} = \frac{x^{\sqrt{2}-2}}{\sqrt{2}-2}.$

Найдем первообразную для второго слагаемого $x^{3/4}$:

$\int x^{3/4} \,dx = \frac{x^{3/4+1}}{3/4+1} = \frac{x^{7/4}}{7/4} = \frac{4}{7}x^{7/4}.$

Общий вид первообразных $F(x)$ равен сумме полученных первообразных плюс произвольная постоянная $C$:

$F(x) = \frac{x^{\sqrt{2}-2}}{\sqrt{2}-2} + \frac{4}{7}x^{7/4} + C.$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{\sqrt{2}-2}}{\sqrt{2}-2} + \frac{4}{7}x^{7/4} + C$.

4) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - \sqrt[5]{x^2}$ представим ее в виде $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - x^{2/5}$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $5x^{-\sqrt{6}-1}$:

$\int 5x^{-\sqrt{6}-1} \,dx = 5 \cdot \frac{x^{(-\sqrt{6}-1)+1}}{(-\sqrt{6}-1)+1} = 5 \cdot \frac{x^{-\sqrt{6}}}{-\sqrt{6}} = -\frac{5}{\sqrt{6}}x^{-\sqrt{6}}.$

Найдем первообразную для второго слагаемого $-x^{2/5}$:

$\int -x^{2/5} \,dx = - \frac{x^{2/5+1}}{2/5+1} = - \frac{x^{7/5}}{7/5} = -\frac{5}{7}x^{7/5}.$

Общий вид первообразных $F(x)$ равен сумме полученных первообразных плюс произвольная постоянная $C$:

$F(x) = -\frac{5}{\sqrt{6}}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C.$

Ответ: $F(x) = -\frac{5}{\sqrt{6}}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C$.

Вычислите интегралы (9.12–9.13):

9.12. 1) $\int_0^7 (x + 1)^{\frac{2}{3}} dx$; 2) $\int_{-4}^3 \frac{dx}{(5 + x)^{\frac{1}{3}}}$.

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{7} (x + 1)^{\frac{2}{3}} dx$ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = x + 1$. Тогда дифференциал $dt = d(x + 1) = (x+1)'dx = dx$.

Найдем новые пределы интегрирования:

При $x = 0$, нижний предел $t = 0 + 1 = 1$.

При $x = 7$, верхний предел $t = 7 + 1 = 8$.

Подставляем новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:

$\int_{0}^{7} (x + 1)^{\frac{2}{3}} dx = \int_{1}^{8} t^{\frac{2}{3}} dt$.

Для вычисления полученного интеграла применим формулу интегрирования степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ и формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{1}^{8} t^{\frac{2}{3}} dt = [\frac{t^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}]_{1}^{8} = [\frac{t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{1}^{8} = [\frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}}]_{1}^{8}$.

Подставим пределы интегрирования:

$[\frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}}]_{1}^{8} = \frac{3}{5}(8^{\frac{5}{3}}) - \frac{3}{5}(1^{\frac{5}{3}}) = \frac{3}{5}((\sqrt[3]{8})^5) - \frac{3}{5}(1) = \frac{3}{5}(2^5) - \frac{3}{5} = \frac{3}{5}(32) - \frac{3}{5} = \frac{96}{5} - \frac{3}{5} = \frac{93}{5} = 18.6$.

Ответ: $18.6$

2) Для вычисления интеграла $\int_{-4}^{3} \frac{dx}{(5 + x)^{\frac{1}{3}}}$ представим подынтегральную функцию в виде степени: $\int_{-4}^{3} (5 + x)^{-\frac{1}{3}} dx$.

Воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 5 + x$. Тогда дифференциал $dt = d(5 + x) = (5+x)'dx = dx$.

Найдем новые пределы интегрирования:

При $x = -4$, нижний предел $t = 5 + (-4) = 1$.

При $x = 3$, верхний предел $t = 5 + 3 = 8$.

Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:

$\int_{-4}^{3} (5 + x)^{-\frac{1}{3}} dx = \int_{1}^{8} t^{-\frac{1}{3}} dt$.

Применим формулу интегрирования степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{8} t^{-\frac{1}{3}} dt = [\frac{t^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}]_{1}^{8} = [\frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}]_{1}^{8} = [\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8}$.

Подставим пределы интегрирования:

$[\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8} = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}((\sqrt[3]{8})^2) - \frac{3}{2}(1) = \frac{3}{2}(2^2) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(4) - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: $4.5$

9.13. 1) $\int_0^5 5(1 + 3x)^{-0.75} dx;$

2) $\int_0^{155} 0.4(1 + 0.2x)^{-0.6} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{5} 5(1+3x)^{-0.75} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 5(1+3x)^{-0.75}$.

Вынесем константу 5 за знак интеграла: $5 \int (1+3x)^{-0.75} dx$.

Применим формулу для интегрирования степенной функции со сложным аргументом $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $a=3$, $b=1$, $n = -0.75$.

Тогда первообразная будет равна:

$F(x) = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(1+3x)^{-0.75+1}}{-0.75+1} = \frac{5}{3} \cdot \frac{(1+3x)^{0.25}}{0.25}$.

Упростим выражение, учитывая, что $0.25 = 1/4$: $\frac{5}{3} \cdot \frac{(1+3x)^{0.25}}{1/4} = \frac{5}{3} \cdot 4 \cdot (1+3x)^{0.25} = \frac{20}{3}(1+3x)^{0.25}$.

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования:

$\int_{0}^{5} 5(1+3x)^{-0.75} dx = \left[ \frac{20}{3}(1+3x)^{0.25} \right]_{0}^{5} = \frac{20}{3}(1+3 \cdot 5)^{0.25} - \frac{20}{3}(1+3 \cdot 0)^{0.25}$.

Вычислим значения в точках 5 и 0:

$\frac{20}{3}(1+15)^{0.25} - \frac{20}{3}(1)^{0.25} = \frac{20}{3}(16)^{1/4} - \frac{20}{3}(1) = \frac{20}{3} \cdot 2 - \frac{20}{3} = \frac{40}{3} - \frac{20}{3} = \frac{20}{3}$.

Ответ: $\frac{20}{3}$.

2) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{155} 0.4(1+0.2x)^{-0.6} dx$ поступим аналогично предыдущему пункту. Найдем первообразную для функции $f(x) = 0.4(1+0.2x)^{-0.6}$.

Выносим константу 0.4 за знак интеграла: $0.4 \int (1+0.2x)^{-0.6} dx$.

Используем ту же формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $a=0.2$, $b=1$, $n = -0.6$.

Первообразная будет:

$F(x) = 0.4 \cdot \frac{1}{0.2} \cdot \frac{(1+0.2x)^{-0.6+1}}{-0.6+1} = 2 \cdot \frac{(1+0.2x)^{0.4}}{0.4}$.

Упростим выражение, учитывая, что $0.4 = 2/5$: $2 \cdot \frac{(1+0.2x)^{0.4}}{2/5} = 2 \cdot \frac{5}{2} (1+0.2x)^{0.4} = 5(1+0.2x)^{0.4}$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{155} 0.4(1+0.2x)^{-0.6} dx = \left[ 5(1+0.2x)^{0.4} \right]_{0}^{155} = 5(1+0.2 \cdot 155)^{0.4} - 5(1+0.2 \cdot 0)^{0.4}$.

Вычислим значения в точках 155 и 0:

$0.2 \cdot 155 = 31$, поэтому первое слагаемое равно $5(1+31)^{0.4} = 5(32)^{0.4}$.

Так как $32^{0.4} = 32^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4$, то получаем $5 \cdot 4 = 20$.

Второе слагаемое равно $5(1+0)^{0.4} = 5(1)^{0.4} = 5 \cdot 1 = 5$.

Итоговое значение интеграла: $20 - 5 = 15$.

Ответ: 15.

9.14. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1)Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^{-2}$, $x=2$, $x=3$ и $y=1$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на интервале $[2, 3]$. Для любого $x$ из этого интервала $x^2$ находится в диапазоне $[4, 9]$, следовательно, $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ находится в диапазоне $[\frac{1}{9}, \frac{1}{4}]$. Это означает, что на всем интервале $[2, 3]$ линия $y=1$ находится выше кривой $y = \frac{1}{x^2}$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:$S = \int_{2}^{3} (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \int (1 - x^{-2}) dx = x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = x + \frac{1}{x} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[x + \frac{1}{x}\right]_{2}^{3} = \left(3 + \frac{1}{3}\right) - \left(2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{10}{3} - \frac{5}{2} = \frac{20 - 15}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

2)Фигура ограничена параболой $y = -x^2$, прямыми $x=-1$, $x=1$ и $y=-2$. На интервале $[-1, 1]$ значения $x^2$ находятся в диапазоне $[0, 1]$, следовательно, $y = -x^2$ находится в диапазоне $[-1, 0]$. Таким образом, на всем интервале $[-1, 1]$ кривая $y = -x^2$ расположена выше прямой $y = -2$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:$S = \int_{-1}^{1} (-x^2 - (-2)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2) dx$.

Так как подынтегральная функция $f(x) = 2 - x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем упростить вычисление:$S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2) dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (2 - x^2) dx = 2x - \frac{x^3}{3} + C$.

Вычислим интеграл:$S = 2 \left[2x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3}) - (2 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}) \right) = 2 \left(2 - \frac{1}{3}\right) = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$.

3)Фигура ограничена линиями $y = x^{-3}$, $x=-4$, $x=-1$ и $y=-1$. На интервале $[-4, -1]$ значения $x$ отрицательны. $x^3$ изменяется от $(-4)^3 = -64$ до $(-1)^3 = -1$. Соответственно, $y = \frac{1}{x^3}$ изменяется от $\frac{1}{-64}$ до $-1$. На этом интервале значения функции $y=\frac{1}{x^3}$ больше или равны $-1$, поэтому кривая $y=\frac{1}{x^3}$ является верхней границей фигуры, а прямая $y=-1$ — нижней.

Площадь $S$ равна:$S = \int_{-4}^{-1} \left(\frac{1}{x^3} - (-1)\right) dx = \int_{-4}^{-1} (x^{-3} + 1) dx$.

Первообразная для подынтегральной функции: $F(x) = \int (x^{-3} + 1) dx = \frac{x^{-2}}{-2} + x + C = -\frac{1}{2x^2} + x + C$.

Вычисляем определенный интеграл:$S = \left[-\frac{1}{2x^2} + x\right]_{-4}^{-1} = \left(-\frac{1}{2(-1)^2} + (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2(-4)^2} + (-4)\right) = \left(-\frac{1}{2} - 1\right) - \left(-\frac{1}{32} - 4\right) = -\frac{3}{2} - \left(-\frac{129}{32}\right) = -\frac{48}{32} + \frac{129}{32} = \frac{81}{32}$.

Ответ: $\frac{81}{32}$.

4)Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $x=-3$, $x=-2$ и $y=2$. На интервале $[-3, -2]$ $x$ принимает отрицательные значения. $x^3$ изменяется от $(-3)^3 = -27$ до $(-2)^3 = -8$. Следовательно, $y = -x^3$ изменяется от $-(-27)=27$ до $-(-8)=8$. На данном интервале значения функции $y = -x^3$ всегда больше 2, поэтому кривая $y = -x^3$ является верхней границей, а прямая $y=2$ — нижней.

Площадь $S$ вычисляется как:$S = \int_{-3}^{-2} (-x^3 - 2) dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (-x^3 - 2) dx = -\frac{x^4}{4} - 2x + C$.

Вычислим определенный интеграл:$S = \left[-\frac{x^4}{4} - 2x\right]_{-3}^{-2} = \left(-\frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)\right) - \left(-\frac{(-3)^4}{4} - 2(-3)\right) = \left(-\frac{16}{4} + 4\right) - \left(-\frac{81}{4} + 6\right) = (-4 + 4) - \left(-\frac{81}{4} + \frac{24}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{57}{4}\right) = \frac{57}{4}$.

Ответ: $\frac{57}{4}$.

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ ОБ УЧЕНОМ-МАТЕМАТИКЕ

9.15. Швейцарский математик Иоганн Бернулли вывел формулу для определенного интеграла от функции $x^x$.

И. Бернулли
(1667–1748)

9.15. Швейцарский математик Иоганн Бернулли вывел формулу для определенного интеграла от функции $x^x$.

Утверждение, представленное в задаче, требует уточнения. Неопределенный интеграл от функции $f(x) = x^x$, то есть $\int x^x dx$, не может быть выражен через элементарные функции (такие как многочлены, логарифмы, экспоненты, тригонометрические функции и их комбинации). Поэтому не существует "формулы" для этого интеграла в привычном смысле.

Однако, швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1697 году действительно совершил выдающееся открытие, связанное с этой функцией. Он нашел значение определенного интеграла от $x^x$ на промежутке от 0 до 1, представив его в виде бесконечного ряда. Этот результат известен как "мечта второкурсника" (Sophomore's dream).

Формула, которую вывел Бернулли, выглядит следующим образом:

$\int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} - \frac{1}{4^4} + \dots$

Краткий вывод этой формулы:

1. Представим подынтегральную функцию $x^x$ с помощью тождества $a = e^{\ln a}$: $x^x = e^{x \ln x}$.

2. Разложим экспоненциальную функцию $e^u$ в ряд Маклорена: $e^u = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!}$.

3. Подставим $u = x \ln x$ в разложение: $x^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x \ln x)^k}{k!}$.

4. Проинтегрируем это выражение почленно на отрезке $[0, 1]$. Предполагая, что порядок суммирования и интегрирования можно поменять, получаем:

$\int_0^1 x^x dx = \int_0^1 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x \ln x)^k}{k!} \right) dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int_0^1 x^k (\ln x)^k dx$.

5. Теперь необходимо вычислить внутренний интеграл $I_k = \int_0^1 x^k (\ln x)^k dx$. С помощью интегрирования по частям или замены переменных можно показать, что:

$I_k = \frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}}$.

6. Подставим результат обратно в сумму:

$\int_0^1 x^x dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left( \frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}}$.

7. Для приведения к более известному виду, сделаем замену индекса суммирования $n = k+1$. Тогда при $k=0, n=1$, и сумма принимает вид:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$.

Таким образом, Иоганн Бернулли (1667–1748), один из величайших математиков своего времени и член знаменитой династии ученых из Базеля, не вывел общую формулу для первообразной функции $x^x$, но нашел точное значение ее определенного интеграла от 0 до 1 в виде элегантного бесконечного ряда.

Ответ: Утверждение в задаче является верным в том смысле, что Иоганн Бернулли вывел формулу для определенного интеграла $\int_0^1 x^x dx$, представив его в виде бесконечного ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$. Однако, для неопределенного интеграла $\int x^x dx$ не существует формулы в элементарных функциях.