Номер 9.13, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.13. 1) $\int_0^5 5(1 + 3x)^{-0.75} dx;$

2) $\int_0^{155} 0.4(1 + 0.2x)^{-0.6} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{5} 5(1+3x)^{-0.75} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 5(1+3x)^{-0.75}$.

Вынесем константу 5 за знак интеграла: $5 \int (1+3x)^{-0.75} dx$.

Применим формулу для интегрирования степенной функции со сложным аргументом $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $a=3$, $b=1$, $n = -0.75$.

Тогда первообразная будет равна:

$F(x) = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(1+3x)^{-0.75+1}}{-0.75+1} = \frac{5}{3} \cdot \frac{(1+3x)^{0.25}}{0.25}$.

Упростим выражение, учитывая, что $0.25 = 1/4$: $\frac{5}{3} \cdot \frac{(1+3x)^{0.25}}{1/4} = \frac{5}{3} \cdot 4 \cdot (1+3x)^{0.25} = \frac{20}{3}(1+3x)^{0.25}$.

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования:

$\int_{0}^{5} 5(1+3x)^{-0.75} dx = \left[ \frac{20}{3}(1+3x)^{0.25} \right]_{0}^{5} = \frac{20}{3}(1+3 \cdot 5)^{0.25} - \frac{20}{3}(1+3 \cdot 0)^{0.25}$.

Вычислим значения в точках 5 и 0:

$\frac{20}{3}(1+15)^{0.25} - \frac{20}{3}(1)^{0.25} = \frac{20}{3}(16)^{1/4} - \frac{20}{3}(1) = \frac{20}{3} \cdot 2 - \frac{20}{3} = \frac{40}{3} - \frac{20}{3} = \frac{20}{3}$.

Ответ: $\frac{20}{3}$.

2) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{155} 0.4(1+0.2x)^{-0.6} dx$ поступим аналогично предыдущему пункту. Найдем первообразную для функции $f(x) = 0.4(1+0.2x)^{-0.6}$.

Выносим константу 0.4 за знак интеграла: $0.4 \int (1+0.2x)^{-0.6} dx$.

Используем ту же формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $a=0.2$, $b=1$, $n = -0.6$.

Первообразная будет:

$F(x) = 0.4 \cdot \frac{1}{0.2} \cdot \frac{(1+0.2x)^{-0.6+1}}{-0.6+1} = 2 \cdot \frac{(1+0.2x)^{0.4}}{0.4}$.

Упростим выражение, учитывая, что $0.4 = 2/5$: $2 \cdot \frac{(1+0.2x)^{0.4}}{2/5} = 2 \cdot \frac{5}{2} (1+0.2x)^{0.4} = 5(1+0.2x)^{0.4}$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{155} 0.4(1+0.2x)^{-0.6} dx = \left[ 5(1+0.2x)^{0.4} \right]_{0}^{155} = 5(1+0.2 \cdot 155)^{0.4} - 5(1+0.2 \cdot 0)^{0.4}$.

Вычислим значения в точках 155 и 0:

$0.2 \cdot 155 = 31$, поэтому первое слагаемое равно $5(1+31)^{0.4} = 5(32)^{0.4}$.

Так как $32^{0.4} = 32^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4$, то получаем $5 \cdot 4 = 20$.

Второе слагаемое равно $5(1+0)^{0.4} = 5(1)^{0.4} = 5 \cdot 1 = 5$.

Итоговое значение интеграла: $20 - 5 = 15$.

Ответ: 15.