Номер 4, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. При каком значении $a$ верно равенство $(a^8)^{\frac{1}{a}} = a^2$:

A $a$ — положительное число;

B $a$ — любое число;

C такое значение не существует;

D $a$ — неотрицательное число?

Рассмотрим данное равенство: $(a^8)^{\frac{1}{8}} = a^2$.

Для решения необходимо правильно упростить левую часть уравнения. Выражение $(a^8)^{\frac{1}{8}}$ означает извлечение корня восьмой степени из $a^8$.

Важно помнить, что $a^8$ всегда является неотрицательным числом ($a^8 \ge 0$) для любого действительного значения $a$.

Согласно свойству степеней и корней, для любого четного натурального числа $n$, справедливо тождество $\sqrt[n]{x^n} = |x|$. В нашем случае $n=8$, поэтому левая часть уравнения преобразуется следующим образом:

$(a^8)^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{a^8} = |a|$.

Теперь исходное уравнение можно записать в более простом виде:

$|a| = a^2$

Для решения этого уравнения с модулем, рассмотрим два случая:

1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Уравнение принимает вид $a = a^2$. Перенесем все члены в одну сторону: $a^2 - a = 0$. Вынесем общий множитель $a$: $a(a-1) = 0$. Решениями этого уравнения являются $a=0$ и $a=1$. Оба этих значения удовлетворяют условию $a \ge 0$.

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Уравнение принимает вид $-a = a^2$. Перенесем все члены в одну сторону: $a^2 + a = 0$. Вынесем общий множитель $a$: $a(a+1) = 0$. Решениями этого уравнения являются $a=0$ и $a=-1$. Условию $a < 0$ удовлетворяет только значение $a=-1$.

Объединив решения из обоих случаев, мы получаем полный набор значений $a$, при которых исходное равенство верно: $\{-1, 0, 1\}$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа. Ни один из вариантов не совпадает с полученным множеством решений. Это указывает на возможную неточность в формулировке вопроса или вариантов ответа. Однако в таких случаях следует выбрать наиболее подходящий вариант. Варианты A, B и C очевидно неверны. Вариант D предлагает условие, что $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$). Хотя это условие неверно (так как оно упускает решение $a=-1$ и неверно предполагает, что равенство верно для всех неотрицательных $a$), оно охватывает два из трех решений ($0$ и $1$) и соответствует области, в которой часто упрощают свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ без использования модуля. Поэтому, скорее всего, именно этот вариант предполагался как правильный.

Ответ: D) a — неотрицательное число?