Номер 9.15, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ ОБ УЧЕНОМ-МАТЕМАТИКЕ

9.15. Швейцарский математик Иоганн Бернулли вывел формулу для определенного интеграла от функции $x^x$.

И. Бернулли
(1667–1748)

9.15. Швейцарский математик Иоганн Бернулли вывел формулу для определенного интеграла от функции $x^x$.

Утверждение, представленное в задаче, требует уточнения. Неопределенный интеграл от функции $f(x) = x^x$, то есть $\int x^x dx$, не может быть выражен через элементарные функции (такие как многочлены, логарифмы, экспоненты, тригонометрические функции и их комбинации). Поэтому не существует "формулы" для этого интеграла в привычном смысле.

Однако, швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1697 году действительно совершил выдающееся открытие, связанное с этой функцией. Он нашел значение определенного интеграла от $x^x$ на промежутке от 0 до 1, представив его в виде бесконечного ряда. Этот результат известен как "мечта второкурсника" (Sophomore's dream).

Формула, которую вывел Бернулли, выглядит следующим образом:

$\int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} - \frac{1}{4^4} + \dots$

Краткий вывод этой формулы:

1. Представим подынтегральную функцию $x^x$ с помощью тождества $a = e^{\ln a}$: $x^x = e^{x \ln x}$.

2. Разложим экспоненциальную функцию $e^u$ в ряд Маклорена: $e^u = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!}$.

3. Подставим $u = x \ln x$ в разложение: $x^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x \ln x)^k}{k!}$.

4. Проинтегрируем это выражение почленно на отрезке $[0, 1]$. Предполагая, что порядок суммирования и интегрирования можно поменять, получаем:

$\int_0^1 x^x dx = \int_0^1 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x \ln x)^k}{k!} \right) dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int_0^1 x^k (\ln x)^k dx$.

5. Теперь необходимо вычислить внутренний интеграл $I_k = \int_0^1 x^k (\ln x)^k dx$. С помощью интегрирования по частям или замены переменных можно показать, что:

$I_k = \frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}}$.

6. Подставим результат обратно в сумму:

$\int_0^1 x^x dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left( \frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}}$.

7. Для приведения к более известному виду, сделаем замену индекса суммирования $n = k+1$. Тогда при $k=0, n=1$, и сумма принимает вид:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$.

Таким образом, Иоганн Бернулли (1667–1748), один из величайших математиков своего времени и член знаменитой династии ученых из Базеля, не вывел общую формулу для первообразной функции $x^x$, но нашел точное значение ее определенного интеграла от 0 до 1 в виде элегантного бесконечного ряда.

Ответ: Утверждение в задаче является верным в том смысле, что Иоганн Бернулли вывел формулу для определенного интеграла $\int_0^1 x^x dx$, представив его в виде бесконечного ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$. Однако, для неопределенного интеграла $\int x^x dx$ не существует формулы в элементарных функциях.