Номер 9.9, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.9. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке $N(a; b):$

1) $f(x) = x^{\frac{1}{3}}, N\left(\frac{1}{8}; 2\right);$

2) $f(x) = x^{\frac{1}{4}} + 2x, N(1; 3);$

3) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}, N(-1; 1);$

4) $f(x) = x^3 - 3x^{\frac{2}{3}}, N(-1; -4).$

1)Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ и точки $N(\frac{1}{8}; 2)$, абсцисса точки касания $a = \frac{1}{8}$.

Вычислим ординату точки касания на графике функции: $f(a) = f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$. Касание происходит в точке $(\frac{1}{8}; \frac{1}{2})$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в точке касания): $f'(a) = f'(\frac{1}{8}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}( (2^{-3})^{-\frac{2}{3}} ) = \frac{1}{3} \cdot 2^2 = \frac{4}{3}$.

Подставим значения $a = \frac{1}{8}$, $f(a) = \frac{1}{2}$ и $f'(a) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}(x - \frac{1}{8})$

Упростим выражение:

$y = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}x - \frac{4}{3 \cdot 8} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}x - \frac{1}{6} = \frac{4}{3}x + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{3}x + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$.

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$

2)Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}} + 2x$ и точки $N(1; 3)$, абсцисса точки касания $a = 1$.

Проверим, что точка лежит на графике: $f(1) = 1^{\frac{1}{4}} + 2(1) = 1 + 2 = 3$. Ордината $b=3$ верна.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{4}} + 2x)' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} + 2 = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} + 2$.

Найдем угловой коэффициент касательной: $f'(a) = f'(1) = \frac{1}{4}(1)^{-\frac{3}{4}} + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$.

Подставим значения $a = 1$, $f(a) = 3$ и $f'(a) = \frac{9}{4}$ в уравнение касательной:

$y = 3 + \frac{9}{4}(x - 1)$

Упростим выражение:

$y = 3 + \frac{9}{4}x - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}x + \frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}x + \frac{3}{4}$.

Ответ: $y = \frac{9}{4}x + \frac{3}{4}$

3)Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Для функции $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$ и точки $N(-1; 1)$, абсцисса точки касания $a = -1$.

Проверим, что точка лежит на графике: $f(-1) = (-1)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(-1)^{4/3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^4} = \frac{1}{(-1)^4} = 1$. Ордината $b=1$ верна.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{-\frac{4}{3}})' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}-1} = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}$.

Найдем угловой коэффициент касательной: $f'(a) = f'(-1) = -\frac{4}{3}(-1)^{-\frac{7}{3}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^7} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(-1)^7} = -\frac{4}{3} \cdot (-1) = \frac{4}{3}$.

Подставим значения $a = -1$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x - (-1))$

Упростим выражение:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x + 1) = 1 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}x + \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

4)Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Для функции $f(x) = x^3 - 3x^{\frac{2}{3}}$ и точки $N(-1; -4)$, абсцисса точки касания $a = -1$.

Проверим, что точка лежит на графике: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^{\frac{2}{3}} = -1 - 3(\sqrt[3]{-1})^2 = -1 - 3(-1)^2 = -1 - 3(1) = -4$. Ордината $b=-4$ верна.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x^{\frac{2}{3}})' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = 3x^2 - 2x^{-\frac{1}{3}}$.

Найдем угловой коэффициент касательной: $f'(a) = f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1)^{-\frac{1}{3}} = 3(1) - \frac{2}{\sqrt[3]{-1}} = 3 - \frac{2}{-1} = 3 + 2 = 5$.

Подставим значения $a = -1$, $f(a) = -4$ и $f'(a) = 5$ в уравнение касательной:

$y = -4 + 5(x - (-1))$

Упростим выражение:

$y = -4 + 5(x + 1) = -4 + 5x + 5 = 5x + 1$.

Ответ: $y = 5x + 1$