Номер 9.7, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.7. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^{-\frac{1}{2}}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0;$

2) $y = \frac{1}{x^6}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0;$

3) $y = x^{-\frac{1}{3}}$, $x = 1$, $x = 8$, $y = 0;$

4) $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0.$

1) Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = x^{-\frac{1}{2}}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$, представляет собой площадь криволинейной трапеции. Так как функция $y = x^{-\frac{1}{2}}$ неотрицательна на отрезке $[1, 4]$, площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную для функции $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$, используя табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$

По формуле Ньютона-Лейбница, $S = F(b) - F(a)$:

$S = \left. 2\sqrt{x} \right|_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$

Ответ: 2.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^6}$, $x = 1$, $x = 2$ и $y = 0$. Представим функцию в виде $y = x^{-6}$. Функция неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

$S = \int_{1}^{2} x^{-6} dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-6}$:

$\int x^{-6} dx = \frac{x^{-6+1}}{-6+1} = \frac{x^{-5}}{-5} = -\frac{1}{5x^5}$

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -\frac{1}{5x^5} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{5 \cdot 2^5}\right) - \left(-\frac{1}{5 \cdot 1^5}\right) = -\frac{1}{5 \cdot 32} + \frac{1}{5} = -\frac{1}{160} + \frac{32}{160} = \frac{31}{160}$

Ответ: $\frac{31}{160}$.

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^{-\frac{1}{3}}$, $x = 1$, $x = 8$ и $y = 0$. Функция $y = x^{-\frac{1}{3}}$ неотрицательна на отрезке $[1, 8]$.

$S = \int_{1}^{8} x^{-\frac{1}{3}} dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$:

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} \right|_{1}^{8} = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}(2^2) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2}$

Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 2$ и $y = 0$. Представим функцию в виде $y = x^{-4}$. Функция неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

$S = \int_{1}^{2} x^{-4} dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-4}$:

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. -\frac{1}{3x^3} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{3 \cdot 2^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right) = -\frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$.