Номер 9.14, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.14. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1)Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^{-2}$, $x=2$, $x=3$ и $y=1$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на интервале $[2, 3]$. Для любого $x$ из этого интервала $x^2$ находится в диапазоне $[4, 9]$, следовательно, $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ находится в диапазоне $[\frac{1}{9}, \frac{1}{4}]$. Это означает, что на всем интервале $[2, 3]$ линия $y=1$ находится выше кривой $y = \frac{1}{x^2}$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:$S = \int_{2}^{3} (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \int (1 - x^{-2}) dx = x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = x + \frac{1}{x} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[x + \frac{1}{x}\right]_{2}^{3} = \left(3 + \frac{1}{3}\right) - \left(2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{10}{3} - \frac{5}{2} = \frac{20 - 15}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

2)Фигура ограничена параболой $y = -x^2$, прямыми $x=-1$, $x=1$ и $y=-2$. На интервале $[-1, 1]$ значения $x^2$ находятся в диапазоне $[0, 1]$, следовательно, $y = -x^2$ находится в диапазоне $[-1, 0]$. Таким образом, на всем интервале $[-1, 1]$ кривая $y = -x^2$ расположена выше прямой $y = -2$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:$S = \int_{-1}^{1} (-x^2 - (-2)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2) dx$.

Так как подынтегральная функция $f(x) = 2 - x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем упростить вычисление:$S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2) dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (2 - x^2) dx = 2x - \frac{x^3}{3} + C$.

Вычислим интеграл:$S = 2 \left[2x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3}) - (2 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}) \right) = 2 \left(2 - \frac{1}{3}\right) = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$.

3)Фигура ограничена линиями $y = x^{-3}$, $x=-4$, $x=-1$ и $y=-1$. На интервале $[-4, -1]$ значения $x$ отрицательны. $x^3$ изменяется от $(-4)^3 = -64$ до $(-1)^3 = -1$. Соответственно, $y = \frac{1}{x^3}$ изменяется от $\frac{1}{-64}$ до $-1$. На этом интервале значения функции $y=\frac{1}{x^3}$ больше или равны $-1$, поэтому кривая $y=\frac{1}{x^3}$ является верхней границей фигуры, а прямая $y=-1$ — нижней.

Площадь $S$ равна:$S = \int_{-4}^{-1} \left(\frac{1}{x^3} - (-1)\right) dx = \int_{-4}^{-1} (x^{-3} + 1) dx$.

Первообразная для подынтегральной функции: $F(x) = \int (x^{-3} + 1) dx = \frac{x^{-2}}{-2} + x + C = -\frac{1}{2x^2} + x + C$.

Вычисляем определенный интеграл:$S = \left[-\frac{1}{2x^2} + x\right]_{-4}^{-1} = \left(-\frac{1}{2(-1)^2} + (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2(-4)^2} + (-4)\right) = \left(-\frac{1}{2} - 1\right) - \left(-\frac{1}{32} - 4\right) = -\frac{3}{2} - \left(-\frac{129}{32}\right) = -\frac{48}{32} + \frac{129}{32} = \frac{81}{32}$.

Ответ: $\frac{81}{32}$.

4)Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $x=-3$, $x=-2$ и $y=2$. На интервале $[-3, -2]$ $x$ принимает отрицательные значения. $x^3$ изменяется от $(-3)^3 = -27$ до $(-2)^3 = -8$. Следовательно, $y = -x^3$ изменяется от $-(-27)=27$ до $-(-8)=8$. На данном интервале значения функции $y = -x^3$ всегда больше 2, поэтому кривая $y = -x^3$ является верхней границей, а прямая $y=2$ — нижней.

Площадь $S$ вычисляется как:$S = \int_{-3}^{-2} (-x^3 - 2) dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (-x^3 - 2) dx = -\frac{x^4}{4} - 2x + C$.

Вычислим определенный интеграл:$S = \left[-\frac{x^4}{4} - 2x\right]_{-3}^{-2} = \left(-\frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)\right) - \left(-\frac{(-3)^4}{4} - 2(-3)\right) = \left(-\frac{16}{4} + 4\right) - \left(-\frac{81}{4} + 6\right) = (-4 + 4) - \left(-\frac{81}{4} + \frac{24}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{57}{4}\right) = \frac{57}{4}$.

Ответ: $\frac{57}{4}$.