Номер 6, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. Упростите выражение $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y}) \cdot (\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$:

A) $x^\frac{1}{2}$;

B) $x^\frac{1}{2} - 8y^\frac{1}{2}$;

C) $x^\frac{1}{2} - y^\frac{1}{2}$;

D) $8y^\frac{1}{2}$.

Чтобы упростить данное выражение, разобьем его на части и выполним действия последовательно.

Исходное выражение: $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y}) \cdot (\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$

1. Упрощение произведения $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y}) \cdot (\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y})$

Данное произведение представляет собой формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = 2\sqrt[4]{y}$.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt[4]{x})^2 - (2\sqrt[4]{y})^2$

Теперь возведем в квадрат каждый член выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и определение корня $\sqrt[n]{k} = k^{\frac{1}{n}}$:

$(\sqrt[4]{x})^2 = (x^{\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{1}{4} \cdot 2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}}$

$(2\sqrt[4]{y})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt[4]{y})^2 = 4 \cdot (y^{\frac{1}{4}})^2 = 4 \cdot y^{\frac{1}{4} \cdot 2} = 4 \cdot y^{\frac{2}{4}} = 4y^{\frac{1}{2}}$

Таким образом, результат первого действия равен: $x^{\frac{1}{2}} - 4y^{\frac{1}{2}}$.

2. Упрощение частного $4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$

Для выполнения деления воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Сначала представим корни в виде степеней:

$4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3} = 4y^{\frac{7}{8}} : y^{\frac{3}{8}}$

Теперь выполним деление:

$4 \cdot \frac{y^{\frac{7}{8}}}{y^{\frac{3}{8}}} = 4 \cdot y^{\frac{7}{8} - \frac{3}{8}} = 4 \cdot y^{\frac{4}{8}} = 4 \cdot y^{\frac{1}{2}}$

Результат второго действия равен: $4y^{\frac{1}{2}}$.

3. Сложение результатов

Теперь сложим результаты, полученные в первом и втором действиях:

$(x^{\frac{1}{2}} - 4y^{\frac{1}{2}}) + 4y^{\frac{1}{2}}$

Приводим подобные слагаемые:

$x^{\frac{1}{2}} - 4y^{\frac{1}{2}} + 4y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}$

Итоговое упрощенное выражение равно $x^{\frac{1}{2}}$. Это соответствует варианту ответа A).

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$