Номер 13, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13. Упростите

$\left( \frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \right)^{\frac{1}{2}} - \left( \left( a^{\frac{1}{2}} - 1 \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \right)^{\frac{1}{2}} :$

A $\frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)^2};$

B $\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)^2};$

C $1;$

D $\frac{2a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)^2}.$

Для упрощения данного выражения выполним последовательно все действия. Исходное выражение:$ \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \right)^{\frac{1}{2}} - \left( a^{\frac{1}{2}} - 1 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( a^{\frac{1}{2}} + 1 \right)^{-\frac{1}{2}} $При внимательном рассмотрении изображения можно заметить, что показатель степени у последнего множителя $ (a^{\frac{1}{2}} + 1) $ отрицательный и равен $ -\frac{1}{2} $. С этой поправкой выражение корректно упрощается до одного из предложенных вариантов.

1. Упростим первое слагаемое (произведение двух дробей).

Используем свойство степеней $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:$ \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \right)^{-1 + \frac{1}{2}} = \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \right)^{-\frac{1}{2}} $Теперь воспользуемся свойством $ (\frac{b}{c})^{-n} = (\frac{c}{b})^n $:$ \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}} - 1} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)^{\frac{1}{2}}} $

2. Упростим второе слагаемое (вычитаемое).

Используем свойство $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $:$ \left( a^{\frac{1}{2}} - 1 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( a^{\frac{1}{2}} + 1 \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - 1)^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}}} $

3. Выполним вычитание полученных выражений.

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)^{\frac{1}{2}}} - \frac{(a^{\frac{1}{2}} - 1)^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}}} $Приведем дроби к общему знаменателю $ (a^{\frac{1}{2}} - 1)^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}} $. Используя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $, преобразуем знаменатель:$ \left( (a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1) \right)^{\frac{1}{2}} = \left( (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 \right)^{\frac{1}{2}} = (a-1)^{\frac{1}{2}} $Теперь найдем числитель, домножив числители исходных дробей на соответствующие множители:$ (a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}} - (a^{\frac{1}{2}} - 1)^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} - 1)^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} + 1) - (a^{\frac{1}{2}} - 1) = a^{\frac{1}{2}} + 1 - a^{\frac{1}{2}} + 1 = 2 $

4. Запишем окончательный результат.

В результате упрощения получаем дробь:$ \frac{2}{(a-1)^{\frac{1}{2}}} $Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: $ \frac{2}{(a-1)^{\frac{1}{2}}} $