Вопросы, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается иррациональное уравнение от рационального уравнения?

2. В чем сходство иррационального и рационального уравнений?

1. Чем отличается иррациональное уравнение от рационального уравнения?

Основное отличие между иррациональным и рациональным уравнением заключается в том, как в них представлена переменная.

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором обе части являются рациональными выражениями. Рациональное выражение представляет собой алгебраическую дробь, где числитель и знаменатель являются многочленами. В рациональных уравнениях переменная не находится под знаком корня (радикала) или в основании степени с дробным показателем.

Примеры рациональных уравнений:

- Целое рациональное (полиномиальное) уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

- Дробно-рациональное уравнение: $\frac{x-5}{x+3} = 2x$.

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала) или возводится в степень с дробным (нецелым) показателем.

Примеры иррациональных уравнений:

- $\sqrt{x+4} = 2$.

- $\sqrt[3]{x^2-1} = x+1$.

- $x^{1/2} + 2x^{1/4} - 3 = 0$.

Таким образом, ключевое различие — это наличие переменной под знаком радикала. Это обстоятельство приводит к специфическим методам решения и необходимости учитывать область допустимых значений (ОДЗ), например, требование неотрицательности подкоренного выражения для корней четной степени.

Ответ: Иррациональное уравнение отличается от рационального тем, что в нем переменная величина находится под знаком корня (радикала) или в основании степени с дробным показателем.

2. В чем сходство иррационального и рационального уравнений?

Несмотря на фундаментальное различие, у иррациональных и рациональных уравнений есть несколько важных сходств:

1. Общая цель и природа: Оба типа уравнений являются алгебраическими. Цель их решения едина — найти все значения переменной (корни), при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство.

2. Взаимосвязь методов решения: Решение иррациональных уравнений очень часто сводится к решению рациональных. Основной метод избавления от иррациональности — возведение обеих частей уравнения в степень, соответствующую показателю корня. После этой операции иррациональное уравнение, как правило, превращается в рациональное. Например, уравнение $\sqrt{x-1} = 5$ после возведения в квадрат становится рациональным уравнением $x-1 = 25$.

3. Необходимость проверки корней: При решении обоих видов уравнений могут появляться посторонние корни, поэтому требуется проверка.

- В дробно-рациональных уравнениях проверка необходима, чтобы исключить корни, обращающие знаменатель в ноль.

- В иррациональных уравнениях проверка обязательна, если в ходе решения обе части уравнения возводились в четную степень. Такое преобразование не является равносильным и может привести к появлению посторонних корней. Например, уравнение $\sqrt{x} = -2$ не имеет решений, но возведение в квадрат дает $x = 4$, что является посторонним корнем.

4. Учет области допустимых значений (ОДЗ): Для обоих типов уравнений перед решением или во время него важно определять и учитывать ОДЗ. Для рациональных — это все значения переменной, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль. Для иррациональных — это значения, при которых выражения под корнями четной степени неотрицательны.

Ответ: Сходство заключается в том, что это алгебраические уравнения, целью решения которых является нахождение корней. Методы их решения тесно связаны (иррациональные часто сводятся к рациональным), и для обоих типов уравнений важен анализ области допустимых значений и проверка найденных корней.