Номер 10.6, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.6. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x + 4} + \sqrt{5 - x}$;

2) $\sqrt{10 - 2x} + \sqrt{49 + 7x}$;

3) $\sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{x - 2}$;

4) $\sqrt{4 + x} + \sqrt{16 - x^2}$?

1) Для того чтобы выражение $\sqrt{x+4} + \sqrt{5-x}$ имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Это условие приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x+4 \geq 0 \\ 5-x \geq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

$\begin{cases} x \geq -4 \\ -x \geq -5 \end{cases}$

Умножим второе неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\begin{cases} x \geq -4 \\ x \leq 5 \end{cases}$

Решением системы является пересечение промежутков $x \geq -4$ и $x \leq 5$, что соответствует отрезку $[-4; 5]$.

Ответ: $x \in [-4; 5]$.

2) Выражение $\sqrt{10-2x} + \sqrt{49+7x}$ имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 10-2x \geq 0 \\ 49+7x \geq 0 \end{cases}$

Решаем каждое неравенство:

$\begin{cases} -2x \geq -10 \\ 7x \geq -49 \end{cases}$

Разделим первое неравенство на -2 (изменив знак) и второе на 7:

$\begin{cases} x \leq 5 \\ x \geq -7 \end{cases}$

Общим решением системы является промежуток, где переменная $x$ одновременно больше или равна -7 и меньше или равна 5. Это отрезок $[-7; 5]$.

Ответ: $x \in [-7; 5]$.

3) Выражение $\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x-2}$ имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Это соответствует системе неравенств:

$\begin{cases} x^2-9 \geq 0 \\ x-2 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2-9 \geq 0$. Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \geq 0$. Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне корней. Таким образом, решением является объединение промежутков $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

Решим второе неравенство: $x-2 \geq 0 \implies x \geq 2$. Это соответствует промежутку $[2; \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $( (-\infty; -3] \cup [3; \infty) ) \cap [2; \infty)$. Общей частью этих множеств является промежуток, где $x$ одновременно больше или равен 2 и принадлежит $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$. Это промежуток $[3; \infty)$.

Ответ: $x \in [3; \infty)$.

4) Для того чтобы выражение $\sqrt{4+x} + \sqrt{16-x^2}$ имело смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 4+x \geq 0 \\ 16-x^2 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4+x \geq 0 \implies x \geq -4$. Это соответствует промежутку $[-4; \infty)$.

Решим второе неравенство: $16-x^2 \geq 0$. Разложим на множители: $(4-x)(4+x) \geq 0$. Корни уравнения $(4-x)(4+x) = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Это парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями (включительно). Решением является отрезок $[-4; 4]$.

Найдем пересечение решений системы: $[-4; \infty) \cap [-4; 4]$. Общим решением является отрезок $[-4; 4]$.

Ответ: $x \in [-4; 4]$.