Вопросы, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Почему при решении иррациональных уравнений появляются посторонние корни?

2. Обязательно ли проводить проверку для корней иррационального уравнения? Ответ обоснуйте.

3. Как определяются посторонние корни иррационального уравнения в случае, когда известно множество допустимых значений?

1. Почему при решении иррациональных уравнений появляются посторонние корни?

Посторонние корни при решении иррациональных уравнений возникают из-за того, что основной метод их решения — возведение обеих частей уравнения в степень (чаще всего в квадрат) — не является равносильным преобразованием. Это означает, что новое уравнение, полученное после возведения в степень, может иметь корни, которые не являются корнями исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Чтобы избавиться от радикала, мы возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{f(x)})^2 = (g(x))^2$

$f(x) = (g(x))^2$

Проблема в том, что уравнение $f(x) = (g(x))^2$ является следствием не только исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$, но и уравнения $\sqrt{f(x)} = -g(x)$. Таким образом, решая уравнение-следствие, мы находим корни обоих этих уравнений. Однако по определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным, поэтому $\sqrt{f(x)} \ge 0$. Следовательно, корни уравнения $\sqrt{f(x)} = -g(x)$ (при условии $g(x) > 0$) будут посторонними для исходного уравнения.

Пример:

Решим уравнение $\sqrt{x+7} = x+1$.

Возведем обе части в квадрат:

$x+7 = (x+1)^2$

$x+7 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 + x - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим эти корни, подставив их в исходное уравнение:

1. При $x = 2$: $\sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$. Правая часть: $2+1=3$. Получаем верное равенство $3=3$. Значит, $x=2$ — это корень уравнения.

2. При $x = -3$: $\sqrt{-3+7} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $-3+1=-2$. Получаем неверное равенство $2=-2$. Значит, $x=-3$ — это посторонний корень.

Корень $x=-3$ появился потому, что он является решением уравнения $\sqrt{x+7} = -(x+1)$, которое после возведения в квадрат дает то же самое уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

Ответ: Посторонние корни появляются из-за применения неравносильных преобразований, в частности, из-за возведения обеих частей уравнения в чётную степень. Это преобразование расширяет множество решений, так как уравнение $A^2 = B^2$ равносильно совокупности уравнений $A=B$ и $A=-B$, в то время как исходное уравнение было только $A=B$.

2. Обязательно ли проводить проверку для корней иррационального уравнения? Ответ обоснуйте.

Да, проверка является обязательным этапом решения иррационального уравнения, если при его решении использовались неравносильные преобразования. Как было показано в предыдущем пункте, метод возведения в квадрат может привести к появлению посторонних корней. Проверка — это самый надежный способ их отсеять.

Обоснование необходимости проверки:

1. Гарантия правильности: Только подстановка найденных корней в исходное уравнение дает стопроцентную гарантию того, что найденное число действительно является решением.

2. Простота: Для многих уравнений проверка является более простым и менее трудоемким процессом, чем нахождение области допустимых значений (ОДЗ) и отслеживание равносильности на каждом шаге решения.

Однако существуют способы решения, которые делают явную проверку в конце необязательной. Это методы, основанные на равносильных переходах. Например, уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ можно заменить равносильной ему системой:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Условие $f(x) \ge 0$ здесь избыточно, так как оно автоматически выполняется из первого уравнения системы ($f(x)$ равно квадрату, который всегда неотрицателен). Если решить эту систему, то все найденные решения будут являться корнями исходного уравнения, и отдельная проверка подстановкой не потребуется. По сути, проверка условия $g(x) \ge 0$ для найденных корней и есть та самая проверка, которая отсеивает посторонние корни, просто она встроена в сам процесс решения.

Ответ: Да, проверка обязательна, так как стандартные методы решения иррациональных уравнений (возведение в степень) не являются равносильными и приводят к появлению посторонних корней. Альтернативой проверке является решение уравнения с помощью равносильных систем, что включает в себя проверку дополнительных условий (например, неотрицательности частей уравнения) в процессе решения.

3. Как определяются посторонние корни иррационального уравнения в случае, когда известно множество допустимых значений?

Нахождение множества допустимых значений (ОДЗ) — это первый шаг в отсеивании посторонних корней, но он не всегда является достаточным.

ОДЗ иррационального уравнения — это множество значений переменной, при которых все выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. В основном это означает, что подкоренные выражения для корней чётной степени должны быть неотрицательными.

Процесс определения посторонних корней с использованием ОДЗ выглядит так:

1. Найти ОДЗ исходного уравнения.

2. Решить уравнение, избавившись от иррациональности (например, возведением в квадрат).

3. Проверить принадлежность найденных корней к ОДЗ. Те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.

Однако, корень, принадлежащий ОДЗ, всё ещё может быть посторонним. Это происходит по причине, описанной в ответе на первый вопрос: возведение в квадрат "не различает" знаки. Поэтому после проверки на принадлежность ОДЗ необходим дополнительный шаг.

4. Выполнить проверку подстановкой. Все корни, прошедшие фильтр ОДЗ, необходимо подставить в исходное иррациональное уравнение. Те, для которых равенство не выполняется, также являются посторонними.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2x+5} = x-5$.

1. Находим ОДЗ: $2x+5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$. Итак, ОДЗ: $x \in [-2.5; +\infty)$.

2. Решаем уравнение:

$( \sqrt{2x+5} )^2 = (x-5)^2$

$2x+5 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 12x + 20 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 10$.

3. Проверяем на принадлежность ОДЗ:

- $x_1 = 2$: $2 > -2.5$, значит, корень принадлежит ОДЗ.

- $x_2 = 10$: $10 > -2.5$, значит, корень принадлежит ОДЗ.

Оба корня принадлежат ОДЗ, но это не значит, что оба верные.

4. Выполняем проверку подстановкой в исходное уравнение:

- Для $x_1 = 2$: $\sqrt{2 \cdot 2 + 5} = \sqrt{9} = 3$. Правая часть: $2-5 = -3$. Получаем $3 = -3$ (неверно). Значит, $x=2$ — посторонний корень.

- Для $x_2 = 10$: $\sqrt{2 \cdot 10 + 5} = \sqrt{25} = 5$. Правая часть: $10-5 = 5$. Получаем $5 = 5$ (верно). Значит, $x=10$ — единственный корень уравнения.

Ответ: Если известно ОДЗ, то сначала отбрасываются все найденные корни, которые не входят в это множество. Затем для оставшихся корней (которые принадлежат ОДЗ) необходимо провести проверку, подставив их в исходное уравнение. Посторонними будут те корни, которые не входят в ОДЗ, а также те, которые входят в ОДЗ, но не обращают исходное уравнение в верное числовое равенство.