Номер 11.6, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.6. 1) $\sqrt{(4x+5)(3x-2)} = 4x+5$;

2) $\sqrt{(3x-1)(4x+3)} = 3x-1$;

3) $\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}$;

4) $\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$.

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{(4x+5)(3x-2)} = 4x+5 $.

Это иррациональное уравнение вида $ \sqrt{A} = B $, которое равносильно системе:

$ \begin{cases} A = B^2 \\ B \ge 0 \end{cases} $

Применим это к нашему уравнению:

$ \begin{cases} (4x+5)(3x-2) = (4x+5)^2 \\ 4x+5 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ (4x+5)(3x-2) - (4x+5)^2 = 0 $

Вынесем общий множитель $ (4x+5) $ за скобки:

$ (4x+5)((3x-2) - (4x+5)) = 0 $

$ (4x+5)(3x-2-4x-5) = 0 $

$ (4x+5)(-x-7) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $ 4x+5=0 \implies 4x = -5 \implies x_1 = -5/4 $.

2. $ -x-7=0 \implies -x = 7 \implies x_2 = -7 $.

Теперь проверим найденные корни по второму условию системы $ 4x+5 \ge 0 $.

Для $ x_1 = -5/4 $: $ 4(-5/4) + 5 = -5+5=0 $. Условие $ 0 \ge 0 $ выполняется, значит, корень подходит.

Для $ x_2 = -7 $: $ 4(-7) + 5 = -28+5=-23 $. Условие $ -23 \ge 0 $ не выполняется, значит, это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $ -5/4 $.

2) Исходное уравнение: $ \sqrt{(3x-1)(4x+3)} = 3x-1 $.

Уравнение вида $ \sqrt{A} = B $, которое равносильно системе:

$ \begin{cases} A = B^2 \\ B \ge 0 \end{cases} $

В нашем случае:

$ \begin{cases} (3x-1)(4x+3) = (3x-1)^2 \\ 3x-1 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$ (3x-1)(4x+3) - (3x-1)^2 = 0 $

$ (3x-1)((4x+3) - (3x-1)) = 0 $

$ (3x-1)(4x+3-3x+1) = 0 $

$ (3x-1)(x+4) = 0 $

Отсюда получаем два возможных корня:

1. $ 3x-1=0 \implies 3x=1 \implies x_1 = 1/3 $.

2. $ x+4=0 \implies x_2 = -4 $.

Проверим корни по условию $ 3x-1 \ge 0 $.

Для $ x_1 = 1/3 $: $ 3(1/3) - 1 = 1-1=0 $. Условие $ 0 \ge 0 $ выполняется, корень подходит.

Для $ x_2 = -4 $: $ 3(-4) - 1 = -12-1=-13 $. Условие $ -13 \ge 0 $ не выполняется, это посторонний корень.

Единственным решением является $ x=1/3 $.

Ответ: $ 1/3 $.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \\ 2x-12 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases} $

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \in [6, 9] $.

Перепишем уравнение в виде $ \sqrt{x+1} = \sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x} $ и возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x})^2 $

$ x+1 = (2x-12) + 2\sqrt{(2x-12)(9-x)} + (9-x) $

$ x+1 = x-3 + 2\sqrt{(2x-12)(9-x)} $

$ 4 = 2\sqrt{(2x-12)(9-x)} $

$ 2 = \sqrt{(2x-12)(9-x)} $

Снова возведем в квадрат обе части:

$ 4 = (2x-12)(9-x) $

$ 4 = 18x - 2x^2 - 108 + 12x $

$ 4 = -2x^2 + 30x - 108 $

$ 2x^2 - 30x + 112 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 - 15x + 56 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение равно 56. Корни: $ x_1 = 7, x_2 = 8 $.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($ 7 \in [6, 9] $ и $ 8 \in [6, 9] $).

Проверим корни подстановкой в исходное уравнение.

Для $ x=7 $: $ \sqrt{7+1}-\sqrt{9-7} = \sqrt{8}-\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2} $. Правая часть: $ \sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12}=\sqrt{2} $. $ \sqrt{2}=\sqrt{2} $. Корень верный.

Для $ x=8 $: $ \sqrt{8+1}-\sqrt{9-8} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1=2 $. Правая часть: $ \sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12}=\sqrt{4}=2 $. $ 2=2 $. Корень верный.

Ответ: $ 7; 8 $.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases} $

Пересечение условий дает ОДЗ: $ x \ge 2/3 $.

Также, левая часть уравнения не может быть отрицательной, так как правая часть $ \sqrt{3x-2} \ge 0 $.

Значит, $ \sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} \ge 0 \implies \sqrt{x+3} \ge \sqrt{2x-1} $.

Возведя в квадрат, получаем $ x+3 \ge 2x-1 \implies 4 \ge x $.

Таким образом, ОДЗ уточняется до $ x \in [2/3, 4] $.

Перенесем $ \sqrt{2x-1} $ в правую часть и возведем в квадрат:

$ \sqrt{x+3} = \sqrt{3x-2} + \sqrt{2x-1} $

$ (\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{3x-2} + \sqrt{2x-1})^2 $

$ x+3 = (3x-2) + 2\sqrt{(3x-2)(2x-1)} + (2x-1) $

$ x+3 = 5x-3 + 2\sqrt{(3x-2)(2x-1)} $

$ 6-4x = 2\sqrt{(3x-2)(2x-1)} $

$ 3-2x = \sqrt{6x^2-3x-4x+2} $

$ 3-2x = \sqrt{6x^2-7x+2} $

Левая часть $ 3-2x $ должна быть неотрицательной, $ 3-2x \ge 0 \implies 2x \le 3 \implies x \le 3/2 $.

Совмещая с ОДЗ, получаем $ x \in [2/3, 3/2] $.

Возведем последнее уравнение в квадрат:

$ (3-2x)^2 = 6x^2-7x+2 $

$ 9 - 12x + 4x^2 = 6x^2-7x+2 $

$ 2x^2 + 5x - 7 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 5^2 - 4(2)(-7) = 25+56 = 81 = 9^2 $.

$ x_1 = \frac{-5-9}{4} = -14/4 = -7/2 $.

$ x_2 = \frac{-5+9}{4} = 4/4 = 1 $.

Проверим, принадлежат ли корни отрезку $ [2/3, 3/2] $.

$ x_1 = -7/2 $ не принадлежит.

$ x_2 = 1 $ принадлежит, так как $ 2/3 \le 1 \le 3/2 $.

Выполним проверку для $ x=1 $ в исходном уравнении:

$ \sqrt{1+3} - \sqrt{2(1)-1} = \sqrt{4}-\sqrt{1} = 2-1=1 $. Правая часть: $ \sqrt{3(1)-2}=\sqrt{1}=1 $. $ 1=1 $. Корень верный.

Ответ: $ 1 $.