Номер 11.1, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (11.1—11.4):

11.1. 1) $\sqrt{x+2}=4;$

2) $\sqrt{x^2-28}=6;$

3) $\sqrt[3]{3-x^2}=-1;$

4) $\sqrt[4]{x^3-11}=2.$

1) Данное уравнение: $\sqrt{x+2}=4$.

Поскольку мы имеем дело с арифметическим квадратным корнем, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$x+2 \geq 0$

$x \geq -2$

Для того чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x+2})^2 = 4^2$

$x+2 = 16$

Перенесем 2 в правую часть:

$x = 16 - 2$

$x = 14$

Полученный корень $x=14$ удовлетворяет условию ОДЗ, так как $14 \geq -2$.

Проверка: $\sqrt{14+2} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.

Ответ: 14

2) Данное уравнение: $\sqrt{x^2-28}=6$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$x^2-28 \geq 0$

$x^2 \geq 28$

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2-28})^2 = 6^2$

$x^2-28 = 36$

Перенесем -28 в правую часть:

$x^2 = 36 + 28$

$x^2 = 64$

У этого уравнения два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Для $x_1=8$, $8^2 = 64 \geq 28$. Для $x_2=-8$, $(-8)^2 = 64 \geq 28$. Оба корня подходят.

Проверка: $\sqrt{8^2-28} = \sqrt{64-28} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно. $\sqrt{(-8)^2-28} = \sqrt{64-28} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

Ответ: -8; 8

3) Данное уравнение: $\sqrt[3]{3-x^2}=-1$.

Корень нечетной (третьей) степени определен для любых действительных значений подкоренного выражения, поэтому ОДЗ здесь — все действительные числа ($x \in R$).

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt[3]{3-x^2})^3 = (-1)^3$

$3-x^2 = -1$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = 3 + 1$

$x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверка: для $x=2$, $\sqrt[3]{3-2^2} = \sqrt[3]{3-4} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Равенство верно. Для $x=-2$, $\sqrt[3]{3-(-2)^2} = \sqrt[3]{3-4} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Равенство верно.

Ответ: -2; 2

4) Данное уравнение: $\sqrt[4]{x^3-11}=2$.

Так как корень четной (четвертой) степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. ОДЗ:

$x^3-11 \geq 0$

$x^3 \geq 11$

$x \geq \sqrt[3]{11}$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x^3-11})^4 = 2^4$

$x^3-11 = 16$

Перенесем -11 в правую часть:

$x^3 = 16 + 11$

$x^3 = 27$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=3$ условию ОДЗ ($x \geq \sqrt[3]{11}$). Так как $3^3 = 27$, а $27 > 11$, то $3 > \sqrt[3]{11}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Проверка: $\sqrt[4]{3^3-11} = \sqrt[4]{27-11} = \sqrt[4]{16} = 2$. Равенство верно.

Ответ: 3