Номер 11.4, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.4. 1) $\sqrt{3x+4} = 2-x;$

2) $\sqrt{2x^2-3x+2} = 2x-2;$

3) $\sqrt{7-3x} = 1-x;$

4) $\sqrt{2x^2-5x+4} = 2x+2.$

1) $ \sqrt{3x+4} = 2-x $

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, состоящей из условия неотрицательности правой части и уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат:

$ \begin{cases} 2-x \ge 0, \\ 3x+4 = (2-x)^2 \end{cases} $

Сначала решим неравенство системы:

$ 2-x \ge 0 $

$ -x \ge -2 $

$ x \le 2 $

Теперь решим уравнение системы:

$ 3x+4 = 4 - 4x + x^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 - 4x - 3x + 4 - 4 = 0 $

$ x^2 - 7x = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(x-7) = 0 $

Отсюда получаем два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 7 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $ x \le 2 $.

Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию, так как $ 0 \le 2 $.

Корень $ x_2 = 7 $ не удовлетворяет условию, так как $ 7 > 2 $. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $0$.

2) $ \sqrt{2x^2 - 3x + 2} = 2x - 2 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x-2 \ge 0, \\ 2x^2 - 3x + 2 = (2x - 2)^2 \end{cases} $

Решим неравенство:

$ 2x-2 \ge 0 $

$ 2x \ge 2 $

$ x \ge 1 $

Решим уравнение:

$ 2x^2 - 3x + 2 = 4x^2 - 8x + 4 $

$ 4x^2 - 2x^2 - 8x + 3x + 4 - 2 = 0 $

$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Теперь проверим корни на соответствие условию $ x \ge 1 $.

Корень $ x_1 = \frac{1}{2} $ не удовлетворяет условию, так как $ \frac{1}{2} < 1 $. Это посторонний корень.

Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет условию, так как $ 2 \ge 1 $.

Ответ: $2$.

3) $ \sqrt{7-3x} = 1-x $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 1-x \ge 0, \\ 7-3x = (1-x)^2 \end{cases} $

Решим неравенство:

$ 1-x \ge 0 $

$ -x \ge -1 $

$ x \le 1 $

Решим уравнение:

$ 7-3x = 1 - 2x + x^2 $

$ x^2 - 2x + 3x + 1 - 7 = 0 $

$ x^2 + x - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $ -1 $, а их произведение равно $ -6 $.

Корни уравнения: $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 2 $.

Проверим соответствие корней условию $ x \le 1 $.

Корень $ x_1 = -3 $ удовлетворяет условию, так как $ -3 \le 1 $.

Корень $ x_2 = 2 $ не удовлетворяет условию, так как $ 2 > 1 $. Это посторонний корень.

Ответ: $-3$.

4) $ \sqrt{2x^2-5x+4} = 2x+2 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x+2 \ge 0, \\ 2x^2-5x+4 = (2x+2)^2 \end{cases} $

Решим неравенство:

$ 2x+2 \ge 0 $

$ 2x \ge -2 $

$ x \ge -1 $

Решим уравнение:

$ 2x^2-5x+4 = 4x^2 + 8x + 4 $

$ 4x^2 - 2x^2 + 8x + 5x + 4 - 4 = 0 $

$ 2x^2 + 13x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(2x + 13) = 0 $

Получаем два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ 2x+13=0 \Rightarrow x_2 = -\frac{13}{2} = -6.5 $.

Проверим соответствие корней условию $ x \ge -1 $.

Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию, так как $ 0 \ge -1 $.

Корень $ x_2 = -6.5 $ не удовлетворяет условию, так как $ -6.5 < -1 $. Это посторонний корень.

Ответ: $0$.